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Theorem emcllem7 20832
Description: Lemma for emcl 20833 and harmonicbnd 20834. Derive bounds on  gamma as  F ( 1 ) and  G ( 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem7  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables  i 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10513 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10303 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 emcl.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
5 emcl.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
6 emcl.3 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
7 emcl.4 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
84, 5, 6, 7emcllem6 20831 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
98simpri 449 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
109a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  ~~>  gamma )
114, 5emcllem1 20826 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
1211simpri 449 . . . . . . 7  |-  G : NN
--> RR
1312ffvelrni 5861 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
151, 3, 10, 14climrecl 12369 . . . 4  |-  (  T. 
->  gamma  e.  RR )
16 1nn 10003 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
189a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  G  ~~>  gamma )
1913adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
204, 5emcllem2 20827 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
2120simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
2221adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
231, 17, 18, 19, 22climub 12447 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  <_ 
gamma )
2423ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_  gamma )
25 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
1 ) )
26 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
2726sumeq1d 12487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... 1 ) ( 1  /  m ) )
28 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
29 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
3028div1i 9734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3129, 30syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
3231fsum1 12527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... 1 ) ( 1  /  m )  =  1 )
332, 28, 32mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... 1
) ( 1  /  m )  =  1
3427, 33syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  1 )
35 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
36 df-2 10050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3735, 36syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  2 )
3837fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  2
) )
3934, 38oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) ) )
40 1re 9082 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
41 2rp 10609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
42 relogcl 20465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4440, 43resubcli 9355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  RR
4544elexi 2957 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  _V
4639, 5, 45fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( G `  1 )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4716, 46ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 1 )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) )
4825, 47syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4948breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( G `  i
)  <_  gamma  <->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
)
5049rspcva 3042 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_ 
gamma )  ->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
5116, 24, 50sylancr 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma )
52 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
5352negeqd 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  i ) )
54 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  =  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)
55 negex 9296 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  i )  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5798 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
5756adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
588simpli 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  ~~>  gamma
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  F  ~~>  gamma )
60 0cn 9076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
62 nnex 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
6362mptex 5958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  e.  _V )
6511simpli 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F : NN
--> RR
6665ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6867recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
69 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
7069negeqd 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  k ) )
71 negex 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  k )  e.  _V
7270, 54, 71fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
7372adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
74 df-neg 9286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u ( F `  k )  =  ( 0  -  ( F `  k
) )
7573, 74syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  ( 0  -  ( F `  k ) ) )
761, 3, 59, 61, 64, 68, 75climsubc2 12424 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  ~~>  ( 0  -  gamma ) )
7776adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) )  ~~>  ( 0  - 
gamma ) )
7867renegcld 9456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  e.  RR )
7973, 78eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
8079adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
8120simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
83 peano2nn 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8565ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8786, 67lenegd 9597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  -u ( F `
 k )  <_  -u ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
8882, 87mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  <_ 
-u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
89 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9089negeqd 9292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
91 negex 9296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  _V
9290, 54, 91fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9384, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9488, 73, 933brtr4d 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
9594adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
961, 17, 77, 80, 95climub 12447 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  <_  ( 0  -  gamma ) )
9757, 96eqbrtrrd 4226 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_  ( 0  -  gamma ) )
98 df-neg 9286 . . . . . . . 8  |-  -u gamma  =  ( 0  -  gamma )
9997, 98syl6breqr 4244 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_ 
-u gamma )
10015trud 1332 . . . . . . . 8  |-  gamma  e.  RR
10165ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  ( F `  i )  e.  RR )
102101adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
103 leneg 9523 . . . . . . . 8  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  ( F `  i )  e.  RR )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
104100, 102, 103sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
10599, 104mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  gamma  <_  ( F `  i )
)
106105ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  gamma  <_  ( F `  i
) )
107 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
108 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  ( log `  1
) )
109 log1 20472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  1 )  =  0
110108, 109syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  0 )
11134, 110oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  ( 1  -  0 ) )
11228subid1i 9364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
113111, 112syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  1 )
11440elexi 2957 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
115113, 4, 114fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
11616, 115ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  =  1
117107, 116syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  1 )
118117breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  gamma  <_  1
) )
119118rspcva 3042 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  gamma  <_ 
( F `  i
) )  ->  gamma  <_  1
)
12016, 106, 119sylancr 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  gamma  <_  1 )
12144, 40elicc2i 10968 . . . 4  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  <->  ( gamma  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma  /\  gamma  <_  1
) )
12215, 51, 120, 121syl3anbrc 1138 . . 3  |-  (  T. 
->  gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 ) )
123 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
12465, 123mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  Fn  NN )
12517, 1syl6eleq 2525 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
126 elfznn 11072 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... i )  ->  k  e.  NN )
127126adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  k  e.  NN )
128127, 66syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
129 elfznn 11072 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( i  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
130129adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
131130, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
132125, 128, 131monoord2 11346 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  ( F `  1
) )
133132, 116syl6breq 4243 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  1 )
134100, 40elicc2i 10968 . . . . . 6  |-  ( ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
)  <->  ( ( F `
 i )  e.  RR  /\  gamma  <_  ( F `  i )  /\  ( F `  i
)  <_  1 ) )
135102, 105, 133, 134syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
136135ralrimiva 2781 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
) )
137 ffnfv 5886 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( gamma [,] 1 )  <->  ( F  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  (
gamma [,] 1 ) ) )
138124, 136, 137sylanbrc 646 . . 3  |-  (  T. 
->  F : NN --> ( gamma [,] 1 ) )
139 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
14012, 139mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  G  Fn  NN )
14112ffvelrni 5861 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  ->  ( G `  i )  e.  RR )
142141adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  RR )
143127, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
144130, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
145125, 143, 144monoord 11345 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  1 )  <_  ( G `  i
) )
14647, 145syl5eqbrr 4238 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i ) )
14744, 100elicc2i 10968 . . . . . 6  |-  ( ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma )  <-> 
( ( G `  i )  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i )  /\  ( G `  i )  <_ 
gamma ) )
148142, 146, 23, 147syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
149148ralrimiva 2781 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
150 ffnfv 5886 . . . 4  |-  ( G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  <->  ( G  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) ) )
151140, 149, 150sylanbrc 646 . . 3  |-  (  T. 
->  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
152122, 138, 1513jca 1134 . 2  |-  (  T. 
->  ( gamma  e.  (
( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 )  /\  F : NN --> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) ) )
153152trud 1332 1  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   [,]cicc 10911   ...cfz 11035    ~~> cli 12270   sum_csu 12471   logclog 20444   gammacem 20822
This theorem is referenced by:  emcl  20833  harmonicbnd  20834  harmonicbnd2  20835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-em 20823
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