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Theorem emcllem7 20700
Description: Lemma for emcl 20701 and harmonicbnd 20702. Derive bounds on  gamma as  F ( 1 ) and  G ( 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem7  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables  i 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10446 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10236 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 emcl.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
5 emcl.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
6 emcl.3 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
7 emcl.4 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
84, 5, 6, 7emcllem6 20699 . . . . . . 7  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
98simpri 449 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
109a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  ~~>  gamma )
114, 5emcllem1 20694 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
1211simpri 449 . . . . . . 7  |-  G : NN
--> RR
1312ffvelrni 5801 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
151, 3, 10, 14climrecl 12297 . . . 4  |-  (  T. 
->  gamma  e.  RR )
16 1nn 9936 . . . . 5  |-  1  e.  NN
17 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
189a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  G  ~~>  gamma )
1913adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
204, 5emcllem2 20695 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
2120simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
2221adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
231, 17, 18, 19, 22climub 12375 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  <_ 
gamma )
2423ralrimiva 2725 . . . . 5  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_  gamma )
25 fveq2 5661 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
1 ) )
26 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
2726sumeq1d 12415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... 1 ) ( 1  /  m ) )
28 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
29 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
3028div1i 9667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3129, 30syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
3231fsum1 12455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  (
1 ... 1 ) ( 1  /  m )  =  1 )
332, 28, 32mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... 1
) ( 1  /  m )  =  1
3427, 33syl6eq 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  1 )
35 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
36 df-2 9983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3735, 36syl6eqr 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
n  +  1 )  =  2 )
3837fveq2d 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  2
) )
3934, 38oveq12d 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) ) )
40 1re 9016 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
41 2rp 10542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
42 relogcl 20333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4440, 43resubcli 9288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  RR
4544elexi 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( log `  2
) )  e.  _V
4639, 5, 45fvmpt 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( G `  1 )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4716, 46ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 1 )  =  ( 1  -  ( log `  2 ) )
4825, 47syl6eq 2428 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( 1  -  ( log `  2
) ) )
4948breq1d 4156 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( G `  i
)  <_  gamma  <->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
)
5049rspcva 2986 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  <_ 
gamma )  ->  ( 1  -  ( log `  2
) )  <_  gamma )
5116, 24, 50sylancr 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma )
52 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
5352negeqd 9225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  i ) )
54 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  =  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)
55 negex 9229 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  i )  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
5756adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  =  -u ( F `  i )
)
588simpli 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  ~~>  gamma
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  F  ~~>  gamma )
60 0cn 9010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
62 nnex 9931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
6362mptex 5898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x )
)  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  e.  _V )
6511simpli 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F : NN
--> RR
6665ffvelrni 5801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6867recnd 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
69 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
7069negeqd 9225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  k ) )
71 negex 9229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  k )  e.  _V
7270, 54, 71fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
7372adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  -u ( F `  k )
)
74 df-neg 9219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u ( F `  k )  =  ( 0  -  ( F `  k
) )
7573, 74syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  =  ( 0  -  ( F `  k ) ) )
761, 3, 59, 61, 64, 68, 75climsubc2 12352 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) )  ~~>  ( 0  -  gamma ) )
7776adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) )  ~~>  ( 0  - 
gamma ) )
7867renegcld 9389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  e.  RR )
7973, 78eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
8079adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  e.  RR )
8120simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
83 peano2nn 9937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
8565ffvelrni 5801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8786, 67lenegd 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  -u ( F `
 k )  <_  -u ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
8882, 87mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( F `  k )  <_ 
-u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
89 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9089negeqd 9225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
91 negex 9229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  _V
9290, 54, 91fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9384, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9488, 73, 933brtr4d 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
9594adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  k
)  <_  ( (
x  e.  NN  |->  -u ( F `  x ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
961, 17, 77, 80, 95climub 12375 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  -u ( F `  x
) ) `  i
)  <_  ( 0  -  gamma ) )
9757, 96eqbrtrrd 4168 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_  ( 0  -  gamma ) )
98 df-neg 9219 . . . . . . . 8  |-  -u gamma  =  ( 0  -  gamma )
9997, 98syl6breqr 4186 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  -u ( F `  i )  <_ 
-u gamma )
10015trud 1329 . . . . . . . 8  |-  gamma  e.  RR
10165ffvelrni 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  ( F `  i )  e.  RR )
102101adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
103 leneg 9456 . . . . . . . 8  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  ( F `  i )  e.  RR )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
104100, 102, 103sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  -u ( F `
 i )  <_  -u
gamma ) )
10599, 104mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  gamma  <_  ( F `  i )
)
106105ralrimiva 2725 . . . . 5  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  gamma  <_  ( F `  i
) )
107 fveq2 5661 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
108 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  ( log `  1
) )
109 log1 20340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  1 )  =  0
110108, 109syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  0 )
11134, 110oveq12d 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  ( 1  -  0 ) )
11228subid1i 9297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
113111, 112syl6eq 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  1 )
11440elexi 2901 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
115113, 4, 114fvmpt 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
11616, 115ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  =  1
117107, 116syl6eq 2428 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  1 )
118117breq2d 4158 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  ( gamma  <_  ( F `  i )  <->  gamma  <_  1
) )
119118rspcva 2986 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. i  e.  NN  gamma  <_ 
( F `  i
) )  ->  gamma  <_  1
)
12016, 106, 119sylancr 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  gamma  <_  1 )
12144, 40elicc2i 10901 . . . 4  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  <->  ( gamma  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  gamma  /\  gamma  <_  1
) )
12215, 51, 120, 121syl3anbrc 1138 . . 3  |-  (  T. 
->  gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 ) )
123 ffn 5524 . . . . 5  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
12465, 123mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  Fn  NN )
12517, 1syl6eleq 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
126 elfznn 11005 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... i )  ->  k  e.  NN )
127126adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  k  e.  NN )
128127, 66syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
129 elfznn 11005 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( i  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
130129adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
131130, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
132125, 128, 131monoord2 11274 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  ( F `  1
) )
133132, 116syl6breq 4185 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  <_  1 )
134100, 40elicc2i 10901 . . . . . 6  |-  ( ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
)  <->  ( ( F `
 i )  e.  RR  /\  gamma  <_  ( F `  i )  /\  ( F `  i
)  <_  1 ) )
135102, 105, 133, 134syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
136135ralrimiva 2725 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  ( gamma [,] 1
) )
137 ffnfv 5826 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( gamma [,] 1 )  <->  ( F  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( F `  i )  e.  (
gamma [,] 1 ) ) )
138124, 136, 137sylanbrc 646 . . 3  |-  (  T. 
->  F : NN --> ( gamma [,] 1 ) )
139 ffn 5524 . . . . 5  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
14012, 139mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  G  Fn  NN )
14112ffvelrni 5801 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  ->  ( G `  i )  e.  RR )
142141adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  RR )
143127, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... i
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
144130, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  i  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
145125, 143, 144monoord 11273 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  1 )  <_  ( G `  i
) )
14647, 145syl5eqbrr 4180 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  (
1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i ) )
14744, 100elicc2i 10901 . . . . . 6  |-  ( ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma )  <-> 
( ( G `  i )  e.  RR  /\  ( 1  -  ( log `  2 ) )  <_  ( G `  i )  /\  ( G `  i )  <_ 
gamma ) )
148142, 146, 23, 147syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
149148ralrimiva 2725 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) )
150 ffnfv 5826 . . . 4  |-  ( G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  <->  ( G  Fn  NN  /\  A. i  e.  NN  ( G `  i )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) ) )
151140, 149, 150sylanbrc 646 . . 3  |-  (  T. 
->  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
152122, 138, 1513jca 1134 . 2  |-  (  T. 
->  ( gamma  e.  (
( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] 1 )  /\  F : NN --> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] gamma ) ) )
153152trud 1329 1  |-  ( gamma  e.  ( ( 1  -  ( log `  2
) ) [,] 1
)  /\  F : NN
--> ( gamma [,] 1 )  /\  G : NN --> ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    <_ cle 9047    - cmin 9216   -ucneg 9217    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   [,]cicc 10844   ...cfz 10968    ~~> cli 12198   sum_csu 12399   logclog 20312   gammacem 20690
This theorem is referenced by:  emcl  20701  harmonicbnd  20702  harmonicbnd2  20703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-sin 12592  df-cos 12593  df-pi 12595  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314  df-em 20691
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