Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  empos Unicode version

Theorem empos 25242
Description: The empty set is a poset. (Contributed by FL, 6-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
empos  |-  (/)  e.  PosetRel

Proof of Theorem empos
StepHypRef Expression
1 rel0 4810 . 2  |-  Rel  (/)
2 co01 5187 . . 3  |-  ( (/)  o.  (/) )  =  (/)
32eqimssi 3232 . 2  |-  ( (/)  o.  (/) )  C_  (/)
4 cnv0 5084 . . . 4  |-  `' (/)  =  (/)
54ineq2i 3367 . . 3  |-  ( (/)  i^i  `' (/) )  =  (
(/)  i^i  (/) )
6 res0 4959 . . . 4  |-  (  _I  |`  (/) )  =  (/)
7 uni0 3854 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
87unieqi 3837 . . . . . 6  |-  U. U. (/)  =  U. (/)
98, 7eqtri 2303 . . . . 5  |-  U. U. (/)  =  (/)
109reseq2i 4952 . . . 4  |-  (  _I  |`  U. U. (/) )  =  (  _I  |`  (/) )
11 inidm 3378 . . . 4  |-  ( (/)  i^i  (/) )  =  (/)
126, 10, 113eqtr4ri 2314 . . 3  |-  ( (/)  i^i  (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) )
135, 12eqtri 2303 . 2  |-  ( (/)  i^i  `' (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) )
14 0ex 4150 . . 3  |-  (/)  e.  _V
15 isps 14311 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  PosetRel  <->  ( Rel  (/) 
/\  ( (/)  o.  (/) )  C_  (/) 
/\  ( (/)  i^i  `' (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) ) ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . 2  |-  ( (/)  e. 
PosetRel  <-> 
( Rel  (/)  /\  ( (/) 
o.  (/) )  C_  (/)  /\  ( (/) 
i^i  `' (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) ) ) )
171, 3, 13, 16mpbir3an 1134 1  |-  (/)  e.  PosetRel
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   PosetRelcps 14301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-res 4701  df-ps 14306
  Copyright terms: Public domain W3C validator