Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  empos Unicode version

Theorem empos 25345
Description: The empty set is a poset. (Contributed by FL, 6-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
empos  |-  (/)  e.  PosetRel

Proof of Theorem empos
StepHypRef Expression
1 rel0 4826 . 2  |-  Rel  (/)
2 co01 5203 . . 3  |-  ( (/)  o.  (/) )  =  (/)
32eqimssi 3245 . 2  |-  ( (/)  o.  (/) )  C_  (/)
4 cnv0 5100 . . . 4  |-  `' (/)  =  (/)
54ineq2i 3380 . . 3  |-  ( (/)  i^i  `' (/) )  =  (
(/)  i^i  (/) )
6 res0 4975 . . . 4  |-  (  _I  |`  (/) )  =  (/)
7 uni0 3870 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
87unieqi 3853 . . . . . 6  |-  U. U. (/)  =  U. (/)
98, 7eqtri 2316 . . . . 5  |-  U. U. (/)  =  (/)
109reseq2i 4968 . . . 4  |-  (  _I  |`  U. U. (/) )  =  (  _I  |`  (/) )
11 inidm 3391 . . . 4  |-  ( (/)  i^i  (/) )  =  (/)
126, 10, 113eqtr4ri 2327 . . 3  |-  ( (/)  i^i  (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) )
135, 12eqtri 2316 . 2  |-  ( (/)  i^i  `' (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) )
14 0ex 4166 . . 3  |-  (/)  e.  _V
15 isps 14327 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  PosetRel  <->  ( Rel  (/) 
/\  ( (/)  o.  (/) )  C_  (/) 
/\  ( (/)  i^i  `' (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) ) ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . 2  |-  ( (/)  e. 
PosetRel  <-> 
( Rel  (/)  /\  ( (/) 
o.  (/) )  C_  (/)  /\  ( (/) 
i^i  `' (/) )  =  (  _I  |`  U. U. (/) ) ) )
171, 3, 13, 16mpbir3an 1134 1  |-  (/)  e.  PosetRel
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   PosetRelcps 14317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-res 4717  df-ps 14322
  Copyright terms: Public domain W3C validator