MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1b Unicode version

Theorem en1b 6929
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1b  |-  ( A 
~~  1o  <->  A  =  { U. A } )

Proof of Theorem en1b
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 6928 . . 3  |-  ( A 
~~  1o  <->  E. x  A  =  { x } )
2 id 19 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { x } )
3 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
4 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54unisn 3843 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
63, 5syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  x )
76sneqd 3653 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  { U. A }  =  { x } )
82, 7eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { U. A } )
98exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  A  =  { U. A }
)
101, 9sylbi 187 . 2  |-  ( A 
~~  1o  ->  A  =  { U. A }
)
11 id 19 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  =  { U. A } )
12 snex 4216 . . . . . 6  |-  { U. A }  e.  _V
1311, 12syl6eqel 2371 . . . . 5  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  e.  _V )
14 uniexg 4517 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( A  =  { U. A }  ->  U. A  e.  _V )
16 ensn1g 6926 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  { U. A }  ~~  1o )
1715, 16syl 15 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  { U. A }  ~~  1o )
1811, 17eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( A  =  { U. A }  ->  A  ~~  1o )
1910, 18impbii 180 1  |-  ( A 
~~  1o  <->  A  =  { U. A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   1oc1o 6472    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  sylow2alem2  14929  sylow2a  14930  frgpcyg  16527  ptcmplem3  17748  minveclem4a  18794  isppw  20352  xrge0tsmsbi  23383  limvinlv  25559  limhun  25570  en1uniel  27380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator