MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsn Structured version   Unicode version

Theorem en1eqsn 7330
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 6874 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
2 ssid 3359 . . . . . 6  |-  1o  C_  1o
3 ssnnfi 7320 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 654 . . . . 5  |-  1o  e.  Fin
5 enfii 7318 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
64, 5mpan 652 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  B  e. 
Fin )
76adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
8 snssi 3934 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  C_  B
)
10 ensn1g 7164 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  ~~  1o )
11 ensym 7148 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  1o  ~~  B )
12 entr 7151 . . . 4  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  B
)  ->  { A }  ~~  B )
1310, 11, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  ~~  B
)
14 fisseneq 7312 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { A }  C_  B  /\  { A }  ~~  B )  ->  { A }  =  B )
157, 9, 13, 14syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  =  B )
1615eqcomd 2440 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204   omcom 4837   1oc1o 6709    ~~ cen 7098   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  gex1  15217  0cyg  15494  pgpfac1lem3a  15626  pgpfaclem3  15633  en1top  17041  cnextfres  18091  rngosn4  22007  rngoueqz  22010  xrge0tsmseq  24217  sconpi1  24918  isdmn3  26675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator