MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsn Unicode version

Theorem en1eqsn 7088
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 6637 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
2 ssid 3197 . . . . . 6  |-  1o  C_  1o
3 ssnnfi 7082 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . 5  |-  1o  e.  Fin
5 enfii 7080 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
64, 5mpan 651 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  B  e. 
Fin )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
8 snssi 3759 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  C_  B
)
10 ensn1g 6926 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  ~~  1o )
11 ensym 6910 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  1o  ~~  B )
12 entr 6913 . . . 4  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  B
)  ->  { A }  ~~  B )
1310, 11, 12syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  ~~  B
)
14 fisseneq 7074 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { A }  C_  B  /\  { A }  ~~  B )  ->  { A }  =  B )
157, 9, 13, 14syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  =  B )
1615eqcomd 2288 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   omcom 4656   1oc1o 6472    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  gex1  14902  0cyg  15179  pgpfac1lem3a  15311  pgpfaclem3  15318  en1top  16722  rngosn4  21094  rngoueqz  21097  xrge0tsmseq  23384  sconpi1  23770  unexun  25569  isdmn3  26699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator