MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsn Unicode version

Theorem en1eqsn 7267
Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )

Proof of Theorem en1eqsn
StepHypRef Expression
1 1onn 6811 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
2 ssid 3303 . . . . . 6  |-  1o  C_  1o
3 ssnnfi 7257 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 654 . . . . 5  |-  1o  e.  Fin
5 enfii 7255 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
64, 5mpan 652 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  B  e. 
Fin )
76adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  e.  Fin )
8 snssi 3878 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  C_  B
)
10 ensn1g 7101 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  ~~  1o )
11 ensym 7085 . . . 4  |-  ( B 
~~  1o  ->  1o  ~~  B )
12 entr 7088 . . . 4  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  B
)  ->  { A }  ~~  B )
1310, 11, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  ~~  B
)
14 fisseneq 7249 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { A }  C_  B  /\  { A }  ~~  B )  ->  { A }  =  B )
157, 9, 13, 14syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  { A }  =  B )
1615eqcomd 2385 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   {csn 3750   class class class wbr 4146   omcom 4778   1oc1o 6646    ~~ cen 7035   Fincfn 7038
This theorem is referenced by:  gex1  15145  0cyg  15422  pgpfac1lem3a  15554  pgpfaclem3  15561  en1top  16965  cnextfres  18013  rngosn4  21856  rngoueqz  21859  xrge0tsmseq  24047  sconpi1  24698  isdmn3  26368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-1o 6653  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042
  Copyright terms: Public domain W3C validator