MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1top Structured version   Unicode version

Theorem en1top 17054
Description:  { (/)
} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 16982 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
2 en1eqsn 7341 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  J  /\  J  ~~  1o )  ->  J  =  { (/) } )
32ex 425 . . 3  |-  ( (/)  e.  J  ->  ( J 
~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
5 id 21 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
6 0ex 4342 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
76ensn1 7174 . . 3  |-  { (/) } 
~~  1o
85, 7syl6eqbr 4252 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
94, 8impbid1 196 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215   1oc1o 6720    ~~ cen 7109   Topctop 16963
This theorem is referenced by:  hmph0  17832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-top 16968
  Copyright terms: Public domain W3C validator