Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en2eleq Structured version   Unicode version

Theorem en2eleq 27349
 Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 2onn 6875 . . . . . 6
2 nnfi 7291 . . . . . 6
31, 2ax-mp 8 . . . . 5
4 enfi 7317 . . . . 5
53, 4mpbiri 225 . . . 4
7 simpl 444 . . . 4
8 1onn 6874 . . . . . . . . 9
98a1i 11 . . . . . . . 8
10 simpr 448 . . . . . . . . 9
11 df-2o 6717 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6breq 4243 . . . . . . . 8
13 dif1en 7333 . . . . . . . 8
149, 12, 7, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7
15 en1uniel 27348 . . . . . . 7
1614, 15syl 16 . . . . . 6
17 eldifsn 3919 . . . . . 6
1816, 17sylib 189 . . . . 5
1918simpld 446 . . . 4
20 prssi 3946 . . . 4
217, 19, 20syl2anc 643 . . 3
2218simprd 450 . . . . . 6
2322necomd 2681 . . . . 5
24 pr2nelem 7880 . . . . 5
257, 19, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4
26 ensym 7148 . . . . 5
2726adantl 453 . . . 4
28 entr 7151 . . . 4
2925, 27, 28syl2anc 643 . . 3
30 fisseneq 7312 . . 3
316, 21, 29, 30syl3anc 1184 . 2
3231eqcomd 2440 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   cdif 3309   wss 3312  csn 3806  cpr 3807  cuni 4007   class class class wbr 4204   csuc 4575  com 4837  c1o 6709  c2o 6710   cen 7098  cfn 7101 This theorem is referenced by:  en2other2  27350  psgnunilem1  27384 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-2o 6717  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
 Copyright terms: Public domain W3C validator