Theorem en2lp 4602

Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206.

Assertion

Ref	Expression
en2lp	|- -. (A e. B /\ B e. A)

Proof of Theorem en2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
2		eleq2 1535	. . . . 5 |- (x = A -> (y e. x <-> y e. A))
3	1, 2	anbi12d 628	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. y /\ y e. x) <-> (A e. y /\ y e. A)))
4	3	negbid 611	. . 3 |- (x = A -> (-. (x e. y /\ y e. x) <-> -. (A e. y /\ y e. A)))
5		eleq2 1535	. . . . 5 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
6		eleq1 1534	. . . . 5 |- (y = B -> (y e. A <-> B e. A))
7	5, 6	anbi12d 628	. . . 4 |- (y = B -> ((A e. y /\ y e. A) <-> (A e. B /\ B e. A)))
8	7	negbid 611	. . 3 |- (y = B -> (-. (A e. y /\ y e. A) <-> -. (A e. B /\ B e. A)))
9		zfregfr 4601	. . . 4 |- E Fr V
10		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
11		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
12	10, 11	pm3.2i 285	. . . 4 |- (x e. V /\ y e. V)
13		efrn2lp 2929	. . . 4 |- ((E Fr V /\ (x e. V /\ y e. V)) -> -. (x e. y /\ y e. x))
14	9, 12, 13	mp2an 697	. . 3 |- -. (x e. y /\ y e. x)
15	4, 8, 14	vtocl2g 1850	. 2 |- ((A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
16		elisset 1817	. . . 4 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1817	. . . 4 |- (B e. A -> B e. V)
18	16, 17	anim12i 333	. . 3 |- ((A e. B /\ B e. A) -> (A e. V /\ B e. V))
19	18	con3i 98	. 2 |- (-. (A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
20	15, 19	pm2.61i 126	1 |- -. (A e. B /\ B e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  Ecep 2830   Fr wfr 2915

This theorem is referenced by:  preleq 4603  suc11reg 4605  axunndlem1 4947  axacndlem5 4963

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-eprel 2832  df-fr 2917

Copyright terms: Public domain