MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2sn Unicode version

Theorem en2sn 7149
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7135 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
2 ensn1g 7135 . . 3  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
32ensymd 7121 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  1o  ~~ 
{ B } )
4 entr 7122 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  { B } )  ->  { A }  ~~  { B }
)
51, 3, 4syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   {csn 3778   class class class wbr 4176   1oc1o 6680    ~~ cen 7069
This theorem is referenced by:  difsnen  7153  domunsncan  7171  domunsn  7220  limensuci  7246  infensuc  7248  sucdom2  7266  dif1enOLD  7303  dif1en  7304  dif1card  7852  fin23lem26  8165  unsnen  8388  canthp1lem1  8487  fzennn  11266  hashsng  11606  mreexexlem4d  13831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-id 4462  df-suc 4551  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-1o 6687  df-er 6868  df-en 7073
  Copyright terms: Public domain W3C validator