MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2sn Structured version   Unicode version

Theorem en2sn 7189
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7175 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
2 ensn1g 7175 . . 3  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
32ensymd 7161 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  1o  ~~ 
{ B } )
4 entr 7162 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  { B } )  ->  { A }  ~~  { B }
)
51, 3, 4syl2an 465 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   {csn 3816   class class class wbr 4215   1oc1o 6720    ~~ cen 7109
This theorem is referenced by:  difsnen  7193  domunsncan  7211  domunsn  7260  limensuci  7286  infensuc  7288  sucdom2  7306  dif1enOLD  7343  dif1en  7344  dif1card  7897  fin23lem26  8210  unsnen  8433  canthp1lem1  8532  fzennn  11312  hashsng  11652  mreexexlem4d  13877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator