MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2sn Unicode version

Theorem en2sn 6940
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 6926 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
2 ensn1g 6926 . . 3  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
3 ensym 6910 . . 3  |-  ( { B }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { B } )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  1o  ~~ 
{ B } )
5 entr 6913 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  { B } )  ->  { A }  ~~  { B }
)
61, 4, 5syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   {csn 3640   class class class wbr 4023   1oc1o 6472    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  difsnen  6944  domunsncan  6962  domunsn  7011  limensuci  7037  infensuc  7039  sucdom2  7057  dif1enOLD  7090  dif1en  7091  dif1card  7638  fin23lem26  7951  unsnen  8175  canthp1lem1  8274  fzennn  11030  hashsng  11356  mreexexlem4d  13549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator