MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2sn Unicode version

Theorem en2sn 7083
Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
en2sn  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )

Proof of Theorem en2sn
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7069 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
2 ensn1g 7069 . . 3  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
3 ensym 7053 . . 3  |-  ( { B }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { B } )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  1o  ~~ 
{ B } )
5 entr 7056 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~~  { B } )  ->  { A }  ~~  { B }
)
61, 4, 5syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A }  ~~  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1715   {csn 3729   class class class wbr 4125   1oc1o 6614    ~~ cen 7003
This theorem is referenced by:  difsnen  7087  domunsncan  7105  domunsn  7154  limensuci  7180  infensuc  7182  sucdom2  7200  dif1enOLD  7237  dif1en  7238  dif1card  7785  fin23lem26  8098  unsnen  8322  canthp1lem1  8421  fzennn  11194  hashsng  11534  mreexexlem4d  13759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-id 4412  df-suc 4501  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-1o 6621  df-er 6802  df-en 7007
  Copyright terms: Public domain W3C validator