MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en4 Unicode version

Theorem en4 7096
Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en4  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, A

Proof of Theorem en4
StepHypRef Expression
1 3onn 6639 . 2  |-  3o  e.  om
2 df-4o 6482 . 2  |-  4o  =  suc  3o
3 en3 7095 . 2  |-  ( ( A  \  { x } )  ~~  3o  ->  E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }
)
4 qdassr 3727 . . . . 5  |-  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } )  =  ( { x }  u.  { y ,  z ,  w } )
54enp1ilem 7092 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  \  {
x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w }
) ) )
65eximdv 1608 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  {
z ,  w }
) ) )
762eximdv 1610 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y E. z E. w ( A  \  { x } )  =  { y ,  z ,  w }  ->  E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) ) )
81, 2, 3, 7enp1i 7093 1  |-  ( A 
~~  4o  ->  E. x E. y E. z E. w  A  =  ( { x ,  y }  u.  { z ,  w } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   class class class wbr 4023   3oc3o 6474   4oc4o 6475    ~~ cen 6860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-3o 6481  df-4o 6482  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator