MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Unicode version

Theorem endomtr 7101
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 7070 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
2 domtr 7096 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan 458 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   class class class wbr 4153    ~~ cen 7042    ~<_ cdom 7043
This theorem is referenced by:  undom  7132  xpdom1g  7141  xpdom3  7142  domunsncan  7144  domsdomtr  7178  domen1  7185  mapdom1  7208  mapdom2  7214  mapdom3  7215  php  7227  onomeneq  7232  sucdom2  7239  hartogslem1  7444  harcard  7798  infxpenlem  7828  infpwfien  7876  alephsucdom  7893  mappwen  7926  dfac12lem2  7957  cdalepw  8009  fictb  8058  cfflb  8072  canthp1lem1  8460  pwfseqlem5  8471  pwxpndom2  8473  pwcdandom  8475  gchxpidm  8477  gchhar  8479  tskinf  8577  inar1  8583  gruina  8626  xpnnenOLD  12736  rexpen  12754  mreexdomd  13801  hauspwdom  17485  rectbntr0  18734  snct  23944  cnvct  23948  dya2iocct  24424  finminlem  26012  heiborlem3  26213  pellexlem4  26586  pellexlem5  26587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-f1o 5401  df-en 7046  df-dom 7047
  Copyright terms: Public domain W3C validator