MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Unicode version

Theorem endomtr 6919
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 6888 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
2 domtr 6914 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan 457 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  undom  6950  xpdom1g  6959  xpdom3  6960  domunsncan  6962  domsdomtr  6996  domen1  7003  mapdom1  7026  mapdom2  7032  mapdom3  7033  php  7045  onomeneq  7050  sucdom2  7057  hartogslem1  7257  harcard  7611  infxpenlem  7641  infpwfien  7689  alephsucdom  7706  mappwen  7739  dfac12lem2  7770  cdalepw  7822  fictb  7871  cfflb  7885  canthp1lem1  8274  pwfseqlem5  8285  pwxpndom2  8287  pwcdandom  8289  gchxpidm  8291  gchhar  8293  tskinf  8391  inar1  8397  gruina  8440  xpnnenOLD  12488  rexpen  12506  mreexdomd  13551  hauspwdom  17227  rectbntr0  18337  snct  23339  cnvct  23343  dya2iocct  23581  finminlem  26231  heiborlem3  26537  pellexlem4  26917  pellexlem5  26918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-f1o 5262  df-en 6864  df-dom 6865
  Copyright terms: Public domain W3C validator