MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Structured version   Unicode version

Theorem endomtr 7157
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 7126 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
2 domtr 7152 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan 458 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   class class class wbr 4204    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099
This theorem is referenced by:  undom  7188  xpdom1g  7197  xpdom3  7198  domunsncan  7200  domsdomtr  7234  domen1  7241  mapdom1  7264  mapdom2  7270  mapdom3  7271  php  7283  onomeneq  7288  sucdom2  7295  hartogslem1  7503  harcard  7857  infxpenlem  7887  infpwfien  7935  alephsucdom  7952  mappwen  7985  dfac12lem2  8016  cdalepw  8068  fictb  8117  cfflb  8131  canthp1lem1  8519  pwfseqlem5  8530  pwxpndom2  8532  pwcdandom  8534  gchxpidm  8536  gchhar  8538  tskinf  8636  inar1  8642  gruina  8685  xpnnenOLD  12801  rexpen  12819  mreexdomd  13866  hauspwdom  17556  rectbntr0  18855  snct  24095  cnvct  24099  dya2iocct  24622  finminlem  26312  heiborlem3  26513  pellexlem4  26886  pellexlem5  26887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-f1o 5453  df-en 7102  df-dom 7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator