Theorem endomtr 4426

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance.

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4421	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)
2		endom 4391	. 2 |- (A ~~ B -> A ~<_ B)
3	1, 2	sylan 450	1 |- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   class class class wbr 2624   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371

This theorem is referenced by:  undom 4444  xpdom1 4449  xpdom3 4451  ensdomtr 4477  domsdomtr 4482  domen1 4485  mapdom1 4498  mapdom2 4500  php 4519  onomeneq 4525  0sdom1dom 4530  isfinite1 4539  isfinite1OLD 4540  carddomi 4845  cdadom2 4946  xpnnen 7500  infxpidmlem1 7553  infdif 7569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain