MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Unicode version

Theorem ener 6908
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener  |-  ~~  Er  _V

Proof of Theorem ener
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6868 . . . 4  |-  Rel  ~~
21a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  Rel  ~~  )
3 bren 6871 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> y )
4 f1ocnv 5485 . . . . . . 7  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  `' f : y -1-1-onto-> x )
5 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
6 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
7 f1oen2g 6878 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  `' f : y -1-1-onto-> x )  ->  y  ~~  x )
85, 6, 7mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( `' f : y -1-1-onto-> x  -> 
y  ~~  x )
94, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x )
109exlimiv 1666 . . . . 5  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  y  ~~  x
)
113, 10sylbi 187 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
1211adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  ~~  y )  ->  y  ~~  x )
13 bren 6871 . . . . 5  |-  ( x 
~~  y  <->  E. g 
g : x -1-1-onto-> y )
14 bren 6871 . . . . 5  |-  ( y 
~~  z  <->  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )
15 eeanv 1854 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  <->  ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f  f : y -1-1-onto-> z ) )
16 f1oco 5496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : y -1-1-onto-> z  /\  g : x -1-1-onto-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
1716ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )
18 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 f1oen2g 6878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  e.  _V  /\  (
f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
206, 18, 19mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-onto-> z  ->  x  ~~  z )
2117, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2221exlimivv 1667 . . . . . 6  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y  /\  f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z )
2315, 22sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-onto-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-onto-> z )  ->  x  ~~  z
)
2413, 14, 23syl2anb 465 . . . 4  |-  ( ( x  ~~  y  /\  y  ~~  z )  ->  x  ~~  z )
2524adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x 
~~  y  /\  y  ~~  z ) )  ->  x  ~~  z )
266enref 6894 . . . . 5  |-  x  ~~  x
276, 262th 230 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  <->  x  ~~  x )
2827a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  _V  <->  x 
~~  x ) )
292, 12, 25, 28iserd 6686 . 2  |-  (  T. 
->  ~~  Er  _V )
3029trud 1314 1  |-  ~~  Er  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307   E.wex 1528    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   -1-1-onto->wf1o 5254    Er wer 6657    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  ensymb  6909  entr  6913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator