Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ener Structured version   Unicode version

Theorem ener 7146
 Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener

Proof of Theorem ener
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 7106 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 bren 7109 . . . . 5
4 f1ocnv 5679 . . . . . . 7
5 vex 2951 . . . . . . . 8
6 vex 2951 . . . . . . . 8
7 f1oen2g 7116 . . . . . . . 8
85, 6, 7mp3an12 1269 . . . . . . 7
94, 8syl 16 . . . . . 6
109exlimiv 1644 . . . . 5
113, 10sylbi 188 . . . 4
1211adantl 453 . . 3
13 bren 7109 . . . . 5
14 bren 7109 . . . . 5
15 eeanv 1937 . . . . . 6
16 f1oco 5690 . . . . . . . . 9
1716ancoms 440 . . . . . . . 8
18 vex 2951 . . . . . . . . 9
19 f1oen2g 7116 . . . . . . . . 9
206, 18, 19mp3an12 1269 . . . . . . . 8
2117, 20syl 16 . . . . . . 7
2221exlimivv 1645 . . . . . 6
2315, 22sylbir 205 . . . . 5
2413, 14, 23syl2anb 466 . . . 4
2524adantl 453 . . 3
266enref 7132 . . . . 5
276, 262th 231 . . . 4
2827a1i 11 . . 3
292, 12, 25, 28iserd 6923 . 2
3029trud 1332 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wtru 1325  wex 1550   wcel 1725  cvv 2948   class class class wbr 4204  ccnv 4869   ccom 4874   wrel 4875  wf1o 5445   wer 6894   cen 7098 This theorem is referenced by:  ensymb  7147  entr  7151 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-er 6897  df-en 7102
 Copyright terms: Public domain W3C validator