MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfi Unicode version

Theorem enfi 7079
Description: Equinmerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
enfi  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )

Proof of Theorem enfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen1 7001 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
21rexbidv 2564 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
3 isfi 6885 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 6885 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
52, 3, 43bitr4g 279 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   omcom 4656    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  enfii  7080  wofib  7260  sdom2en01  7928  fin23lem21  7965  enfin1ai  8010  fin17  8020  isfin7-2  8022  engch  8250  uzinf  11028  hasheni  11347  dfod2  14877  odhash  14885  gsumval3  15191  cyggic  16526  derangen  23703  erdsze2lem1  23734  eupai  23883  diophin  26852  diophren  26896  fiphp3d  26902  en2eleq  27381  symggen  27411  psgnunilem1  27416  fiuneneq  27513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator