Theorem enfi 4598

Description: Equinmerous sets have the same finiteness.

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ((B e. C /\ A ~~ B) -> (A e. Fin <-> B e. Fin))

Proof of Theorem enfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 4540	. . 3 |- ((B e. C /\ A ~~ B) -> (A ~~ x <-> B ~~ x))
2	1	rexbidv 1711	. 2 |- ((B e. C /\ A ~~ B) -> (E.x e. om A ~~ x <-> E.x e. om B ~~ x))
3		isfi 4443	. 2 |- (A e. Fin <-> E.x e. om A ~~ x)
4		isfi 4443	. 2 |- (B e. Fin <-> E.x e. om B ~~ x)
5	2, 3, 4	3bitr4g 566	1 |- ((B e. C /\ A ~~ B) -> (A e. Fin <-> B e. Fin))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   e. wcel 999  E.wrex 1693   class class class wbr 2674  omcom 3188   ~~ cen 4425  Fincfn 4428

This theorem is referenced by:  domfi 4602  isfinite2 4609  pwfi 4631  set2elt 10639  setwoe 10640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-er 4319  df-en 4429  df-fin 4432

Copyright terms: Public domain