MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfi Structured version   Unicode version

Theorem enfi 7318
Description: Equinmerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
enfi  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )

Proof of Theorem enfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen1 7240 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
21rexbidv 2719 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
3 isfi 7124 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 7124 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
52, 3, 43bitr4g 280 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725   E.wrex 2699   class class class wbr 4205   omcom 4838    ~~ cen 7099   Fincfn 7102
This theorem is referenced by:  enfii  7319  wofib  7507  sdom2en01  8175  fin23lem21  8212  enfin1ai  8257  fin17  8267  isfin7-2  8269  engch  8496  uzinf  11298  hasheni  11625  dfod2  15193  odhash  15201  gsumval3  15507  cyggic  16846  nbusgrafi  21451  cusgrafilem3  21483  eupai  21682  derangen  24851  erdsze2lem1  24882  diophin  26823  diophren  26866  fiphp3d  26872  en2eleq  27350  symggen  27380  psgnunilem1  27385  fiuneneq  27482
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-er 6898  df-en 7103  df-fin 7106
  Copyright terms: Public domain W3C validator