MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfi Unicode version

Theorem enfi 7254
Description: Equinmerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
enfi  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )

Proof of Theorem enfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen1 7176 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  ~~  x  <->  B  ~~  x ) )
21rexbidv 2663 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
3 isfi 7060 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 7060 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
52, 3, 43bitr4g 280 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1717   E.wrex 2643   class class class wbr 4146   omcom 4778    ~~ cen 7035   Fincfn 7038
This theorem is referenced by:  enfii  7255  wofib  7440  sdom2en01  8108  fin23lem21  8145  enfin1ai  8190  fin17  8200  isfin7-2  8202  engch  8429  uzinf  11225  hasheni  11552  dfod2  15120  odhash  15128  gsumval3  15434  cyggic  16769  nbusgrafi  21317  cusgrafilem3  21349  eupai  21530  derangen  24630  erdsze2lem1  24661  diophin  26515  diophren  26558  fiphp3d  26564  en2eleq  27043  symggen  27073  psgnunilem1  27078  fiuneneq  27175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-er 6834  df-en 7039  df-fin 7042
  Copyright terms: Public domain W3C validator