MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Unicode version

Theorem enfii 7318
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 7317 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
21biimparc 474 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    ~~ cen 7098   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  domfi  7322  en1eqsn  7330  isfinite2  7357  xpfi  7370  fofinf1o  7379  cnvfi  7382  pwfi  7394  cantnfcl  7612  en2eqpr  7881  fzfi  11301  hasheni  11622  fz1isolem  11700  isercolllem2  12449  isercoll  12451  summolem2a  12499  summolem2  12500  zsum  12502  bitsf1  12948  isprm2lem  13076  orbsta2  15081  ovoliunlem1  19388  eupafi  21683  derangenlem  24847  erdsze2lem2  24880  prodmolem2a  25250  prodmolem2  25251  zprod  25253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator