MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Unicode version

Theorem enfii 7080
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 7079 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
21biimparc 473 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  domfi  7084  en1eqsn  7088  isfinite2  7115  xpfi  7128  fofinf1o  7137  cnvfi  7140  pwfi  7151  cantnfcl  7368  en2eqpr  7637  fzfi  11034  hasheni  11347  fz1isolem  11399  isercolllem2  12139  isercoll  12141  summolem2a  12188  summolem2  12189  zsum  12191  bitsf1  12637  isprm2lem  12765  orbsta2  14768  ovoliunlem1  18861  derangenlem  23702  erdsze2lem2  23735  eupafi  23886  enf1f1oOLD  26397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator