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Theorem enfin1ai 8256
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7148 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
2 bren 7109 . . 3  |-  ( B 
~~  A  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> A )
31, 2sylib 189 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  E. f 
f : B -1-1-onto-> A )
4 elpwi 3799 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
5 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  A  e. FinIa )
6 imassrn 5208 . . . . . . . . . 10  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
7 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B
--> A )
87ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
f : B --> A )
9 frn 5589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : B --> A  ->  ran  f  C_  A )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  ran  f  C_  A )
116, 10syl5ss 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " x
)  C_  A )
12 fin1ai 8165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  ( f " x )  C_  A )  ->  (
( f " x
)  e.  Fin  \/  ( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin )
)
135, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f "
x )  e.  Fin  \/  ( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin )
)
14 f1of1 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B -1-1-> A )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
f : B -1-1-> A
)
16 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  x  C_  B )
17 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  x  e.  _V )
19 f1imaeng 7159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : B -1-1-> A  /\  x  C_  B  /\  x  e.  _V )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " x
)  ~~  x )
21 enfi 7317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f " x ) 
~~  x  ->  (
( f " x
)  e.  Fin  <->  x  e.  Fin ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f "
x )  e.  Fin  <->  x  e.  Fin ) )
23 df-f1 5451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : B -1-1-> A  <->  ( f : B --> A  /\  Fun  `' f ) )
2423simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : B -1-1-> A  ->  Fun  `' f )
25 imadif 5520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( B  \  x ) )  =  ( ( f " B )  \  (
f " x ) ) )
2615, 24, 253syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) )  =  ( ( f
" B )  \ 
( f " x
) ) )
27 f1ofo 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  f : B -onto-> A )
28 foima 5650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( f " B
)  =  A )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  ( f " B )  =  A )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " B
)  =  A )
3130difeq1d 3456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( f " B )  \  (
f " x ) )  =  ( A 
\  ( f "
x ) ) )
3226, 31eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) )  =  ( A  \ 
( f " x
) ) )
33 difssd 3467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( B  \  x
)  C_  B )
34 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
357adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  f : B --> A )
36 dmfex 5618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  _V  /\  f : B --> A )  ->  B  e.  _V )
3734, 35, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  B  e.  _V )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  ->  B  e.  _V )
39 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  x )  e. 
_V )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( B  \  x
)  e.  _V )
41 f1imaeng 7159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : B -1-1-> A  /\  ( B  \  x
)  C_  B  /\  ( B  \  x
)  e.  _V )  ->  ( f " ( B  \  x ) ) 
~~  ( B  \  x ) )
4215, 33, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( f " ( B  \  x ) ) 
~~  ( B  \  x ) )
4332, 42eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( A  \  (
f " x ) )  ~~  ( B 
\  x ) )
44 enfi 7317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( f
" x ) ) 
~~  ( B  \  x )  ->  (
( A  \  (
f " x ) )  e.  Fin  <->  ( B  \  x )  e.  Fin ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( A  \ 
( f " x
) )  e.  Fin  <->  ( B  \  x )  e. 
Fin ) )
4622, 45orbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( ( ( f
" x )  e. 
Fin  \/  ( A  \  ( f " x
) )  e.  Fin ) 
<->  ( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x
)  e.  Fin )
) )
4713, 46mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  C_  B )  -> 
( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x
)  e.  Fin )
)
484, 47sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  /\  x  e.  ~P B
)  ->  ( x  e.  Fin  \/  ( B 
\  x )  e. 
Fin ) )
4948ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  A. x  e.  ~P  B ( x  e.  Fin  \/  ( B  \  x )  e. 
Fin ) )
50 isfin1a 8164 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  B ( x  e. 
Fin  \/  ( B  \  x )  e.  Fin ) ) )
5137, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  ( B  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  B ( x  e. 
Fin  \/  ( B  \  x )  e.  Fin ) ) )
5249, 51mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> A  /\  A  e. FinIa )  ->  B  e. FinIa
)
5352ex 424 . . 3  |-  ( f : B -1-1-onto-> A  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )
5453exlimiv 1644 . 2  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> A  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa
) )
553, 54syl 16 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. FinIa  ->  B  e. FinIa ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445    ~~ cen 7098   Fincfn 7101  FinIacfin1a 8150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fin1a 8157
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