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Theorem enfixsn 27257
Description: Given two equipollent sets, a bijection can always be chosen which fixes a single point. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfixsn  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X    f, Y

Proof of Theorem enfixsn
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  X  ~~  Y )
2 bren 6871 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  <->  E. g 
g : X -1-1-onto-> Y )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. g  g : X
-1-1-onto-> Y )
4 relen 6868 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~~
54brrelex2i 4730 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  Y  ->  Y  e.  _V )
653ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  Y  e.  _V )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  Y  e.  _V )
8 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g : X
--> Y )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  g : X
--> Y )
10 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  A  e.  X )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : X --> Y  /\  A  e.  X )  ->  ( g `  A
)  e.  Y )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( g `  A )  e.  Y
)
13 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  B  e.  Y )
14 difsnen 6944 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( g `  A
)  e.  Y  /\  B  e.  Y )  ->  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  ~~  ( Y  \  { B } ) )
157, 12, 13, 14syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) 
~~  ( Y  \  { B } ) )
16 bren 6871 . . . . . 6  |-  ( ( Y  \  { ( g `  A ) } )  ~~  ( Y  \  { B }
)  <->  E. h  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) )
1715, 16sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. h  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
18 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g `
 A )  e. 
_V
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  _V )
20 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  B  e.  Y )
21 f1osng 5514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
24 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ( g `  A
) }  i^i  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)
2524a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  i^i  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  (/) )
26 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B }
) )  =  (/)
2726a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) )
28 f1oun 5492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } : {
( g `  A
) } -1-1-onto-> { B }  /\  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) ) )  ->  ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
2922, 23, 25, 27, 28syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
308ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X --> Y )
31 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  A  e.  X )
3230, 31, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  Y )
33 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  ( ( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )
34 difsnid 3761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  (
( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )  =  Y )
3533, 34syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
3632, 35syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
37 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  ( ( Y  \  { B } )  u.  { B } )
38 difsnid 3761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Y  ->  (
( Y  \  { B } )  u.  { B } )  =  Y )
3937, 38syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  Y  ->  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  Y )
4020, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )
41 f1oeq23 5466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y  /\  ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4236, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4329, 42mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y )
44 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X -1-1-onto-> Y )
45 f1oco 5496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y  /\  g : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y )
4643, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y )
47 f1ofn 5473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g  Fn  X )
4847ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g  Fn  X )
49 fvco2 5594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
5048, 31, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
51 f1ofn 5473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } : { ( g `
 A ) } -1-1-onto-> { B }  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A
) } )
5222, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) } )
53 f1ofn 5473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } ) )
5453ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h  Fn  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )
5518snid 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 A )  e. 
{ ( g `  A ) }
5655a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } )
57 fvun1 5590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) }  /\  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
5852, 54, 25, 56, 57syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
59 fvsng 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
6019, 20, 59syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
6150, 58, 603eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )
62 snex 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  e.  _V
63 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  h  e. 
_V
6462, 63unex 4518 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  e. 
_V
65 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
6664, 65coex 5216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  e. 
_V
67 f1oeq1 5463 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y ) )
68 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f `  A )  =  ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A ) )
6968eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f `  A
)  =  B  <->  ( (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) `
 A )  =  B ) )
7067, 69anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B )  <-> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B ) ) )
7166, 70spcev 2875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7246, 61, 71syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7372expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7473exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( E. h  h : ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7517, 74mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) )
7675ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  -> 
( g : X -1-1-onto-> Y  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) ) )
7776exlimdv 1664 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  -> 
( E. g  g : X -1-1-onto-> Y  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
783, 77mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  mapfien2  27258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864
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