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Theorem enfixsn 26763
Description: Given two equipollent sets, a bijection can always be chosen which fixes a single point. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfixsn  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X    f, Y

Proof of Theorem enfixsn
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  X  ~~  Y )
2 bren 7014 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  <->  E. g 
g : X -1-1-onto-> Y )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. g  g : X
-1-1-onto-> Y )
4 relen 7011 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~~
54brrelex2i 4833 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  Y  ->  Y  e.  _V )
653ad2ant3 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  Y  e.  _V )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  Y  e.  _V )
8 f1of 5578 . . . . . . . . 9  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g : X
--> Y )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  g : X
--> Y )
10 simpl1 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  A  e.  X )
11 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : X --> Y  /\  A  e.  X )  ->  ( g `  A
)  e.  Y )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( g `  A )  e.  Y
)
13 simpl2 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  B  e.  Y )
14 difsnen 7087 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( g `  A
)  e.  Y  /\  B  e.  Y )  ->  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  ~~  ( Y  \  { B } ) )
157, 12, 13, 14syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) 
~~  ( Y  \  { B } ) )
16 bren 7014 . . . . . 6  |-  ( ( Y  \  { ( g `  A ) } )  ~~  ( Y  \  { B }
)  <->  E. h  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) )
1715, 16sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. h  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
18 fvex 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g `
 A )  e. 
_V
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  _V )
20 simpl2 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  B  e.  Y )
21 f1osng 5620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
24 disjdif 3615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ( g `  A
) }  i^i  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)
2524a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  i^i  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  (/) )
26 disjdif 3615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B }
) )  =  (/)
2726a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) )
28 f1oun 5598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } : {
( g `  A
) } -1-1-onto-> { B }  /\  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) ) )  ->  ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
2922, 23, 25, 27, 28syl22anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
308ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X --> Y )
31 simpl1 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  A  e.  X )
3230, 31, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  Y )
33 uncom 3407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  ( ( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )
34 difsnid 3859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  (
( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )  =  Y )
3533, 34syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
3632, 35syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
37 uncom 3407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  ( ( Y  \  { B } )  u.  { B } )
38 difsnid 3859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Y  ->  (
( Y  \  { B } )  u.  { B } )  =  Y )
3937, 38syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  Y  ->  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  Y )
4020, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )
41 f1oeq23 5572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y  /\  ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4236, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4329, 42mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y )
44 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X -1-1-onto-> Y )
45 f1oco 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y  /\  g : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y )
4643, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y )
47 f1ofn 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g  Fn  X )
4847ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g  Fn  X )
49 fvco2 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
5048, 31, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
51 f1ofn 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } : { ( g `
 A ) } -1-1-onto-> { B }  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A
) } )
5222, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) } )
53 f1ofn 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } ) )
5453ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h  Fn  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )
5518snid 3756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 A )  e. 
{ ( g `  A ) }
5655a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } )
57 fvun1 5697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) }  /\  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
5852, 54, 25, 56, 57syl112anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
59 fvsng 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
6019, 20, 59syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
6150, 58, 603eqtrd 2402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )
62 snex 4318 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  e.  _V
63 vex 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  h  e. 
_V
6462, 63unex 4621 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  e. 
_V
65 vex 2876 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
6664, 65coex 5319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  e. 
_V
67 f1oeq1 5569 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y ) )
68 fveq1 5631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f `  A )  =  ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A ) )
6968eqeq1d 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f `  A
)  =  B  <->  ( (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) `
 A )  =  B ) )
7067, 69anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B )  <-> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B ) ) )
7166, 70spcev 2960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7246, 61, 71syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7372expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7473exlimdv 1641 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( E. h  h : ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7517, 74mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) )
7675ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  -> 
( g : X -1-1-onto-> Y  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) ) )
7776exlimdv 1641 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  -> 
( E. g  g : X -1-1-onto-> Y  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
783, 77mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237   (/)c0 3543   {csn 3729   <.cop 3732   class class class wbr 4125    o. ccom 4796    Fn wfn 5353   -->wf 5354   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358    ~~ cen 7003
This theorem is referenced by:  mapfien2  26764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-id 4412  df-suc 4501  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-1o 6621  df-er 6802  df-en 7007
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