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Theorem enfixsn 27133
Description: Given two equipollent sets, a bijection can always be chosen which fixes a single point. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfixsn  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X    f, Y

Proof of Theorem enfixsn
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  X  ~~  Y )
2 bren 7084 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  <->  E. g 
g : X -1-1-onto-> Y )
31, 2sylib 189 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. g  g : X
-1-1-onto-> Y )
4 relen 7081 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~
54brrelex2i 4886 . . . . . . 7  |-  ( X 
~~  Y  ->  Y  e.  _V )
653ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  Y  e.  _V )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  Y  e.  _V )
8 f1of 5641 . . . . . . 7  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g : X
--> Y )
98adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  g : X
--> Y )
10 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  A  e.  X )
119, 10ffvelrnd 5838 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( g `  A )  e.  Y
)
12 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  B  e.  Y )
13 difsnen 7157 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( g `  A
)  e.  Y  /\  B  e.  Y )  ->  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  ~~  ( Y  \  { B } ) )
147, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) 
~~  ( Y  \  { B } ) )
15 bren 7084 . . . 4  |-  ( ( Y  \  { ( g `  A ) } )  ~~  ( Y  \  { B }
)  <->  E. h  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) )
1614, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. h  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
17 fvex 5709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 A )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  _V )
19 simpl2 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  B  e.  Y )
20 f1osng 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. } : { ( g `  A ) } -1-1-onto-> { B } )
22 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )
23 disjdif 3668 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( g `  A
) }  i^i  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  i^i  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  (/) )
25 disjdif 3668 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B }
) )  =  (/)
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) )
27 f1oun 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } : {
( g `  A
) } -1-1-onto-> { B }  /\  h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } ) )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  ( Y  \  { B } ) )  =  (/) ) )  ->  ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
2821, 22, 24, 26, 27syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) ) )
298ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X --> Y )
30 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  A  e.  X )
3129, 30ffvelrnd 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  Y )
32 uncom 3459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) )  =  ( ( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )
33 difsnid 3912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  (
( Y  \  {
( g `  A
) } )  u. 
{ ( g `  A ) } )  =  Y )
3432, 33syl5eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  A )  e.  Y  ->  ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
3531, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y )
36 uncom 3459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  ( ( Y  \  { B } )  u.  { B } )
37 difsnid 3912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Y  ->  (
( Y  \  { B } )  u.  { B } )  =  Y )
3836, 37syl5eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Y  ->  ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  =  Y )
3919, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )
40 f1oeq23 5635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { ( g `
 A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )  =  Y  /\  ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  =  Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : ( { ( g `  A
) }  u.  ( Y  \  { ( g `
 A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B } ) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4135, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) : ( { ( g `  A ) }  u.  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) ) -1-1-onto-> ( { B }  u.  ( Y  \  { B }
) )  <->  ( { <. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
4228, 41mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y )
43 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g : X -1-1-onto-> Y )
44 f1oco 5665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
) : Y -1-1-onto-> Y  /\  g : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y )
4542, 43, 44syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y )
46 f1ofn 5642 . . . . . . . . 9  |-  ( g : X -1-1-onto-> Y  ->  g  Fn  X )
4746ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
g  Fn  X )
48 fvco2 5765 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
4947, 30, 48syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `
 ( g `  A ) ) )
50 f1ofn 5642 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } : { ( g `
 A ) } -1-1-onto-> { B }  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A
) } )
5121, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) } )
52 f1ofn 5642 . . . . . . . . 9  |-  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } ) )
5352ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  h  Fn  ( Y  \  { ( g `  A ) } ) )
5417snid 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( g `
 A )  e. 
{ ( g `  A ) }
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } )
56 fvun1 5761 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  Fn  { ( g `  A ) }  /\  h  Fn  ( Y  \  {
( g `  A
) } )  /\  ( ( { ( g `  A ) }  i^i  ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) )  =  (/)  /\  ( g `  A
)  e.  { ( g `  A ) } ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
5751, 53, 24, 55, 56syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h ) `  (
g `  A )
)  =  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. } `
 ( g `  A ) ) )
58 fvsng 5894 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g `  A
)  e.  _V  /\  B  e.  Y )  ->  ( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
5918, 19, 58syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( { <. (
g `  A ) ,  B >. } `  (
g `  A )
)  =  B )
6049, 57, 593eqtrd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  -> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )
61 snex 4373 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( g `  A ) ,  B >. }  e.  _V
62 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  h  e. 
_V
6361, 62unex 4674 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  e. 
_V
64 vex 2927 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
6563, 64coex 5380 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  e. 
_V
66 f1oeq1 5632 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y ) )
67 fveq1 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
f `  A )  =  ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A ) )
6867eqeq1d 2420 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f `  A
)  =  B  <->  ( (
( { <. (
g `  A ) ,  B >. }  u.  h
)  o.  g ) `
 A )  =  B ) )
6966, 68anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B )  <-> 
( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B ) ) )
7065, 69spcev 3011 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( { <. ( g `  A ) ,  B >. }  u.  h )  o.  g
) : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( ( {
<. ( g `  A
) ,  B >. }  u.  h )  o.  g ) `  A
)  =  B )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7145, 60, 70syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  ( g : X -1-1-onto-> Y  /\  h : ( Y  \  {
( g `  A
) } ) -1-1-onto-> ( Y 
\  { B }
) ) )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
7271expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( h : ( Y  \  { ( g `  A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7372exlimdv 1643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  ( E. h  h : ( Y 
\  { ( g `
 A ) } ) -1-1-onto-> ( Y  \  { B } )  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) ) )
7416, 73mpd 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  /\  g : X -1-1-onto-> Y
)  ->  E. f
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `  A
)  =  B ) )
753, 74exlimddv 1645 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  X  ~~  Y )  ->  E. f ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  ( f `
 A )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    u. cun 3286    i^i cin 3287   (/)c0 3596   {csn 3782   <.cop 3785   class class class wbr 4180    o. ccom 4849    Fn wfn 5416   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421    ~~ cen 7073
This theorem is referenced by:  mapfien2  27134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-1o 6691  df-er 6872  df-en 7077
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