Theorem enqeceq 5059

Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
enqeceq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) = (B .N C)))

Proof of Theorem enqeceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (A e. N. /\ B e. N.))
2		opelxpi 3223	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A, B>. e. (N. X. N.))
3		dmenq 5057	. . . 4 |- dom ~Q = (N. X. N.)
4	2, 3	syl6eleqr 1562	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A, B>. e. dom ~Q )
5		opex 2788	. . . 4 |- <.C, D>. e. V
6		enqer 5058	. . . 4 |- Er ~Q
7	5, 6	erthdm 4289	. . 3 |- (<.A, B>. e. dom ~Q -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> <.A, B>. ~Q <.C, D>.))
8	1, 4, 7	3syl 20	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> <.A, B>. ~Q <.C, D>.))
9		enqbreq 5056	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (<.A, B>. ~Q <.C, D>. <-> (A .N D) = (B .N C)))
10	8, 9	bitrd 530	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) = (B .N C)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  dom cdm 3176  (class class class)co 3969  [cec 4265  N.cnpi 4984   .N cmi 4986   ~Q ceq 4990

This theorem is referenced by:  ordpipq 5068  ltsopq 5087  prlem934b 5150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-ni 5012  df-mi 5014  df-enq 5049

Copyright terms: Public domain