Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enqeq Structured version   Unicode version

Theorem enqeq 8811
 Description: Corollary of nqereu 8806: if two fractions are both reduced and equivalent, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enqeq

Proof of Theorem enqeq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 954 . 2
2 elpqn 8802 . . . . 5
323ad2ant2 979 . . . 4
4 nqereu 8806 . . . 4
5 reurmo 2923 . . . 4
63, 4, 53syl 19 . . 3
7 df-rmo 2713 . . 3
86, 7sylib 189 . 2
9 3simpb 955 . 2
10 simp2 958 . . 3
11 enqer 8798 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
1312, 3erref 6925 . . 3
1410, 13jca 519 . 2
15 eleq1 2496 . . . 4
16 breq1 4215 . . . 4
1715, 16anbi12d 692 . . 3
18 eleq1 2496 . . . 4
19 breq1 4215 . . . 4
2018, 19anbi12d 692 . . 3
2117, 20moi 3117 . 2
221, 8, 9, 14, 21syl112anc 1188 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wmo 2282  wreu 2707  wrmo 2708   class class class wbr 4212   cxp 4876   wer 6902  cnpi 8719   ceq 8726  cnq 8727 This theorem is referenced by:  nqereq  8812  ltsonq  8846 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-mi 8751  df-lti 8752  df-enq 8788  df-nq 8789
 Copyright terms: Public domain W3C validator