Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enqeq Unicode version

Theorem enqeq 8574
 Description: Corollary of nqereu 8569: if two fractions are both reduced and equivalent, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enqeq

Proof of Theorem enqeq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 952 . 2
2 elpqn 8565 . . . . 5
323ad2ant2 977 . . . 4
4 nqereu 8569 . . . 4
5 reu5 2766 . . . . 5
65simprbi 450 . . . 4
73, 4, 63syl 18 . . 3
8 df-rmo 2564 . . 3
97, 8sylib 188 . 2
10 3simpb 953 . 2
11 simp2 956 . . 3
12 enqer 8561 . . . . 5
1312a1i 10 . . . 4
1413, 3erref 6696 . . 3
1511, 14jca 518 . 2
16 eleq1 2356 . . . 4
17 breq1 4042 . . . 4
1816, 17anbi12d 691 . . 3
19 eleq1 2356 . . . 4
20 breq1 4042 . . . 4
2119, 20anbi12d 691 . . 3
2218, 21moi 2961 . 2
231, 9, 10, 15, 22syl112anc 1186 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wmo 2157  wrex 2557  wreu 2558  wrmo 2559   class class class wbr 4039   cxp 4703   wer 6673  cnpi 8482   ceq 8489  cnq 8490 This theorem is referenced by:  nqereq  8575  ltsonq  8609 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ni 8512  df-mi 8514  df-lti 8515  df-enq 8551  df-nq 8552
 Copyright terms: Public domain W3C validator