MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enreceq Structured version   Unicode version

Theorem enreceq 8945
Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enreceq  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~R  =  [ <. C ,  D >. ]  ~R  <->  ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C ) ) )

Proof of Theorem enreceq
StepHypRef Expression
1 enrer 8944 . . . 4  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ~R  Er  ( P.  X.  P. ) )
3 opelxpi 4911 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
43adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P. 
X.  P. ) )
52, 4erth 6950 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  ~R  <. C ,  D >.  <->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  =  [ <. C ,  D >. ]  ~R  ) )
6 enrbreq 8943 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  ~R  <. C ,  D >.  <->  ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C ) ) )
75, 6bitr3d 248 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~R  =  [ <. C ,  D >. ]  ~R  <->  ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3818   class class class wbr 4213    X. cxp 4877  (class class class)co 6082    Er wer 6903   [cec 6904   P.cnp 8735    +P. cpp 8737    ~R cer 8742
This theorem is referenced by:  ltsrpr  8953  m1p1sr  8968  m1m1sr  8969  ltsosr  8970  0idsr  8973  1idsr  8974  00sr  8975  recexsrlem  8979  map2psrpr  8986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-ec 6908  df-ni 8750  df-pli 8751  df-mi 8752  df-lti 8753  df-plpq 8786  df-mpq 8787  df-ltpq 8788  df-enq 8789  df-nq 8790  df-erq 8791  df-plq 8792  df-mq 8793  df-1nq 8794  df-rq 8795  df-ltnq 8796  df-np 8859  df-plp 8861  df-ltp 8863  df-enr 8935
  Copyright terms: Public domain W3C validator