Theorem enrefg 4390

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
enrefg	|- (A e. B -> A ~~ A)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 3396	. . 3 |- (A e. B -> (I |` A) e. V)
2		f1oi 3717	. . . 4 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
3		f1oeq1 3684	. . . . 5 |- (f = (I |` A) -> (f:A-1-1-onto->A <-> (I |` A):A-1-1-onto->A))
4	3	cla4egv 1863	. . . 4 |- ((I |` A) e. V -> ((I |` A):A-1-1-onto->A -> E.f f:A-1-1-onto->A))
5	2, 4	mpi 44	. . 3 |- ((I |` A) e. V -> E.f f:A-1-1-onto->A)
6	1, 5	syl 10	. 2 |- (A e. B -> E.f f:A-1-1-onto->A)
7		breng 4375	. 2 |- (A e. B -> (A ~~ A <-> E.f f:A-1-1-onto->A))
8	6, 7	mpbird 196	1 |- (A e. B -> A ~~ A)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  Icid 2831   |` cres 3172  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  enref 4391  eqeng 4392  domrefg 4393  f1oen2g 4394  unen 4434  sdomirr 4472  pwen 4503  onfinOLD 4520  ssnnfi 4535  ssnnfiOLD 4536  numth2 4785  oncardval 4819  cardonle 4822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368

Copyright terms: Public domain