MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensn1 Unicode version

Theorem ensn1 6941
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ensn1  |-  { A }  ~~  1o

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
31, 2f1osn 5529 . . . 4  |-  { <. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4 snex 4232 . . . . 5  |-  { <. A ,  (/) >. }  e.  _V
5 f1oeq1 5479 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A ,  (/)
>. }  ->  ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) }  <->  { <. A ,  (/)
>. } : { A }
-1-1-onto-> { (/) } ) )
64, 5spcev 2888 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }  ->  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) } )
73, 6ax-mp 8 . . 3  |-  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) }
8 bren 6887 . . 3  |-  ( { A }  ~~  { (/)
}  <->  E. f  f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
97, 8mpbir 200 . 2  |-  { A }  ~~  { (/) }
10 df1o2 6507 . 2  |-  1o  =  { (/) }
119, 10breqtrri 4064 1  |-  { A }  ~~  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1531    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656   class class class wbr 4039   -1-1-onto->wf1o 5270   1oc1o 6488    ~~ cen 6876
This theorem is referenced by:  ensn1g  6942  en1  6944  fodomfi  7151  pm54.43  7649  1nprm  12779  isprm2lem  12781  gex1  14918  sylow2a  14946  0frgp  15104  en1top  16738  en2top  16739  t1conperf  17178  ptcmplem2  17763  xrge0tsms2  18356  sconpi1  23785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-1o 6495  df-en 6880
  Copyright terms: Public domain W3C validator