Theorem ensn1 4424

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- {A} ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. V
2		0ex 2711	. . . . 5 |- (/) e. V
3	1, 2	f1osn 3719	. . . 4 |- {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}
4		snex 2750	. . . . 5 |- {<.A, (/)>.} e. V
5		f1oeq1 3684	. . . . 5 |- (f = {<.A, (/)>.} -> (f:{A}-1-1-onto->{(/)} <-> {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}))
6	4, 5	cla4ev 1869	. . . 4 |- ({<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)} -> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
7	3, 6	ax-mp 7	. . 3 |- E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)}
8		p0ex 2770	. . . 4 |- {(/)} e. V
9	8	bren 4377	. . 3 |- ({A} ~~ {(/)} <-> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
10	7, 9	mpbir 190	. 2 |- {A} ~~ {(/)}
11		df1o2 4140	. 2 |- 1o = {(/)}
12	10, 11	breqtrr 2640	1 |- {A} ~~ 1o

Syntax hints:   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  (/)c0 2280  {csn 2409  <.cop 2411   class class class wbr 2619  -1-1-onto->wf1o 3181  1oc1o 4128   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  ensn1g 4425  en1 4426  0sdom1dom 4525  pm54.43 4572  sucxpdom 4846  cda1en 4926  infpss 7574  boe 10460  top1 10547  top2ind 10548  top2usne 10549  homindlem2 10550

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-1o 4133  df-en 4368

Copyright terms: Public domain