MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensn1 Structured version   Unicode version

Theorem ensn1 7171
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ensn1  |-  { A }  ~~  1o

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
31, 2f1osn 5715 . . . 4  |-  { <. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4 snex 4405 . . . . 5  |-  { <. A ,  (/) >. }  e.  _V
5 f1oeq1 5665 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A ,  (/)
>. }  ->  ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) }  <->  { <. A ,  (/)
>. } : { A }
-1-1-onto-> { (/) } ) )
64, 5spcev 3043 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }  ->  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) } )
73, 6ax-mp 8 . . 3  |-  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) }
8 bren 7117 . . 3  |-  ( { A }  ~~  { (/)
}  <->  E. f  f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
97, 8mpbir 201 . 2  |-  { A }  ~~  { (/) }
10 df1o2 6736 . 2  |-  1o  =  { (/) }
119, 10breqtrri 4237 1  |-  { A }  ~~  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1550    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   {csn 3814   <.cop 3817   class class class wbr 4212   -1-1-onto->wf1o 5453   1oc1o 6717    ~~ cen 7106
This theorem is referenced by:  ensn1g  7172  en1  7174  fodomfi  7385  pm54.43  7887  1nprm  13084  isprm2lem  13086  gex1  15225  sylow2a  15253  0frgp  15411  en1top  17049  en2top  17050  t1conperf  17499  ptcmplem2  18084  xrge0tsms2  18866  sconpi1  24926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-1o 6724  df-en 7110
  Copyright terms: Public domain W3C validator