MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensn1 Unicode version

Theorem ensn1 6925
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ensn1  |-  { A }  ~~  1o

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
31, 2f1osn 5513 . . . 4  |-  { <. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }
4 snex 4216 . . . . 5  |-  { <. A ,  (/) >. }  e.  _V
5 f1oeq1 5463 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. A ,  (/)
>. }  ->  ( f : { A } -1-1-onto-> { (/) }  <->  { <. A ,  (/)
>. } : { A }
-1-1-onto-> { (/) } ) )
64, 5spcev 2875 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  (/) >. } : { A } -1-1-onto-> { (/) }  ->  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) } )
73, 6ax-mp 8 . . 3  |-  E. f 
f : { A }
-1-1-onto-> { (/) }
8 bren 6871 . . 3  |-  ( { A }  ~~  { (/)
}  <->  E. f  f : { A } -1-1-onto-> { (/) } )
97, 8mpbir 200 . 2  |-  { A }  ~~  { (/) }
10 df1o2 6491 . 2  |-  1o  =  { (/) }
119, 10breqtrri 4048 1  |-  { A }  ~~  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1528    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   -1-1-onto->wf1o 5254   1oc1o 6472    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  ensn1g  6926  en1  6928  fodomfi  7135  pm54.43  7633  1nprm  12763  isprm2lem  12765  gex1  14902  sylow2a  14930  0frgp  15088  en1top  16722  en2top  16723  t1conperf  17162  ptcmplem2  17747  xrge0tsms2  18340  sconpi1  23770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6479  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator