Theorem enssdom 5603

Description: Equinumerosity implies dominance.

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ C_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 5592	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 4722	. . . . 5 |- (f:x-1-1-onto->y -> f:x-1-1->y)
3	2	eximi 1676	. . . 4 |- (E.f f:x-1-1-onto->y -> E.f f:x-1-1->y)
4		opabid 3720	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} <-> E.f f:x-1-1-onto->y)
5		opabid 3720	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y} <-> E.f f:x-1-1->y)
6	3, 4, 5	3imtr4i 328	. . 3 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} -> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
7		df-en 5588	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
8	7	eleq2i 2208	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~~ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y})
9		df-dom 5589	. . . 4 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
10	9	eleq2i 2208	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~<_ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
11	6, 8, 10	3imtr4i 328	. 2 |- (<.x, y>. e. ~~ -> <.x, y>. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 4210	1 |- ~~ C_ ~<_

Syntax hints:   e. wcel 1588  E.wex 1615   C_ wss 2827  <.cop 3240  {copab 3565  -1-1->wf1 4128  -1-1-onto->wf1o 4130   ~~ cen 5584   ~<_ cdom 5585

This theorem is referenced by:  dfdom2 5604  endom 5605

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-v 2540  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-nul 3083  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-op 3246  df-opab 3566  df-xp 4133  df-rel 4134  df-f1o 4146  df-en 5588  df-dom 5589

Copyright terms: Public domain