MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enssdom Unicode version

Theorem enssdom 6886
Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
enssdom  |-  ~~  C_  ~<_

Proof of Theorem enssdom
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6868 . 2  |-  Rel  ~~
2 f1of1 5471 . . . . 5  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  f : x -1-1-> y )
32eximi 1563 . . . 4  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  E. f  f : x -1-1-> y )
4 opabid 4271 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  <->  E. f  f :
x
-1-1-onto-> y )
5 opabid 4271 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y }  <->  E. f  f : x -1-1-> y )
63, 4, 53imtr4i 257 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  ->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x
-1-1-> y } )
7 df-en 6864 . . . 4  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
87eleq2i 2347 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-onto-> y } )
9 df-dom 6865 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
109eleq2i 2347 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e. 
~<_ 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y } )
116, 8, 103imtr4i 257 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  ->  <. x ,  y >.  e.  ~<_  )
121, 11relssi 4778 1  |-  ~~  C_  ~<_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1528    e. wcel 1684    C_ wss 3152   <.cop 3643   {copab 4076   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  dfdom2  6887  endom  6888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-f1o 5262  df-en 6864  df-dom 6865
  Copyright terms: Public domain W3C validator