MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensym Structured version   Unicode version

Theorem ensym 7159
Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensym  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )

Proof of Theorem ensym
StepHypRef Expression
1 ensymb 7158 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  B  ~~  A )
21biimpi 188 1  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   class class class wbr 4215    ~~ cen 7109
This theorem is referenced by:  ensymi  7160  ensymd  7161  sbthb  7231  domnsym  7236  sdomdomtr  7243  domsdomtr  7245  enen1  7250  enen2  7251  domen1  7252  domen2  7253  sdomen1  7254  sdomen2  7255  domtriord  7256  xpen  7273  pwen  7283  nneneq  7293  php2  7295  php3  7296  ominf  7324  fineqvlem  7326  en1eqsn  7341  dif1enOLD  7343  dif1en  7344  enp1i  7346  findcard3  7353  isfinite2  7368  nnsdomg  7369  domunfican  7382  infcntss  7383  fiint  7386  wdomen1  7547  wdomen2  7548  unxpwdom2  7559  karden  7824  finnum  7840  carden2b  7859  fidomtri2  7886  cardmin2  7890  pr2ne  7894  infxpenlem  7900  acnen  7939  acnen2  7941  infpwfien  7948  alephordi  7960  alephinit  7981  dfac12lem2  8029  dfac12r  8031  uncdadom  8056  cdacomen  8066  cdainf  8077  pwsdompw  8089  infmap2  8103  ackbij1b  8124  cflim2  8148  fin4en1  8194  domfin4  8196  fin23lem25  8209  fin23lem23  8211  enfin1ai  8269  fin67  8280  isfin7-2  8281  fin1a2lem11  8295  axcc2lem  8321  axcclem  8342  numthcor  8379  carden  8431  sdomsdomcard  8440  canthnum  8529  canthwe  8531  canthp1lem2  8533  canthp1  8534  pwxpndom2  8545  gchcdaidm  8548  gchxpidm  8549  gchpwdom  8550  inawinalem  8569  grudomon  8697  hashfn  11654  isprm2lem  13091  ramub2  13387  dfod2  15205  sylow2blem1  15259  znhash  16844  hauspwdom  17569  rectbntr0  18868  ovolctb  19391  dyadmbl  19497  eupafi  21698  derangen  24863  finminlem  26334  pellexlem4  26908  pellexlem5  26909  pellex  26911  en2eleq  27371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-er 6908  df-en 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator