MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Structured version   Unicode version

Theorem entr 7162
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 7157 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 6923 . 2  |-  (  T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1333 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    T. wtru 1326   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215    Er wer 6905    ~~ cen 7109
This theorem is referenced by:  entri  7164  en2sn  7189  xpsnen2g  7204  omxpen  7213  enen1  7250  enen2  7251  map2xp  7280  pwen  7283  ssenen  7284  phplem4  7292  php3  7296  fineqvlem  7326  ssfi  7332  en1eqsn  7341  dif1enOLD  7343  dif1en  7344  unfi  7377  unxpwdom2  7559  infdifsn  7614  infdiffi  7615  karden  7824  xpnum  7843  cardidm  7851  ficardom  7853  carden2a  7858  carden2b  7859  isinffi  7884  pm54.43  7892  pr2ne  7894  en2eqpr  7896  infxpenlem  7900  infxpidm2  7903  mappwen  7998  finnisoeu  7999  cdaen  8058  cdaenun  8059  cda1dif  8061  cdaassen  8067  mapcdaen  8069  pwcdaen  8070  infcda1  8078  pwcdaidm  8080  cardacda  8083  ficardun  8087  pwsdompw  8089  infxp  8100  infmap2  8103  ackbij1lem5  8109  ackbij1lem9  8113  ackbij1b  8124  fin4en1  8194  isfin4-3  8200  fin23lem23  8211  domtriomlem  8327  axcclem  8342  carden  8431  alephadd  8457  gchcdaidm  8548  gchxpidm  8549  gchpwdom  8550  gchhar  8559  tskuni  8663  fzen2  11313  isprm2lem  13091  hashdvds  13169  unbenlem  13281  unben  13282  4sqlem11  13328  odinf  15204  dfod2  15205  sylow2blem1  15259  sylow2  15265  hmphindis  17834  dyadmbl  19497  volmeas  24592  sconpi1  24931  lzenom  26842  fiphp3d  26894  frlmpwfi  27253  isnumbasgrplem3  27261  en2eleq  27372  pmtrfconj  27398  psgnunilem1  27407  fiuneneq  27504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-er 6908  df-en 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator