MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Unicode version

Theorem entr 6913
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 6908 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 6675 . 2  |-  (  T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1314 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    Er wer 6657    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  entri  6915  en2sn  6940  xpsnen2g  6955  omxpen  6964  enen1  7001  enen2  7002  map2xp  7031  pwen  7034  ssenen  7035  phplem4  7043  php3  7047  fineqvlem  7077  ssfi  7083  en1eqsn  7088  dif1enOLD  7090  dif1en  7091  unfi  7124  unxpwdom2  7302  infdifsn  7357  infdiffi  7358  karden  7565  xpnum  7584  cardidm  7592  ficardom  7594  carden2a  7599  carden2b  7600  isinffi  7625  pm54.43  7633  pr2ne  7635  en2eqpr  7637  infxpenlem  7641  infxpidm2  7644  mappwen  7739  finnisoeu  7740  cdaen  7799  cdaenun  7800  cda1dif  7802  cdaassen  7808  mapcdaen  7810  pwcdaen  7811  infcda1  7819  pwcdaidm  7821  cardacda  7824  ficardun  7828  pwsdompw  7830  infxp  7841  infmap2  7844  ackbij1lem5  7850  ackbij1lem9  7854  ackbij1b  7865  fin4en1  7935  isfin4-3  7941  fin23lem23  7952  domtriomlem  8068  axcclem  8083  carden  8173  alephadd  8199  gchcdaidm  8290  gchxpidm  8291  gchhar  8293  gchpwdom  8296  tskuni  8405  fzen2  11031  isprm2lem  12765  hashdvds  12843  unbenlem  12955  unben  12956  4sqlem11  13002  odinf  14876  dfod2  14877  sylow2blem1  14931  sylow2  14937  hmphindis  17488  dyadmbl  18955  sconpi1  23770  carinttar  25902  lzenom  26849  fiphp3d  26902  frlmpwfi  27262  isnumbasgrplem3  27270  en2eleq  27381  pmtrfconj  27407  psgnunilem1  27416  fiuneneq  27513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator