MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entri Structured version   Unicode version

Theorem entri 7153
Description: A chained equinumerosity inference. (Contributed by NM, 25-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
entri.1  |-  A  ~~  B
entri.2  |-  B  ~~  C
Assertion
Ref Expression
entri  |-  A  ~~  C

Proof of Theorem entri
StepHypRef Expression
1 entri.1 . 2  |-  A  ~~  B
2 entri.2 . 2  |-  B  ~~  C
3 entr 7151 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  A  ~~  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   class class class wbr 4204    ~~ cen 7098
This theorem is referenced by:  entr2i  7154  entr3i  7155  entr4i  7156  infxpenc2  7895  cfpwsdom  8451  hashxplem  11688  xpnnen  12800  xpomenOLD  12802  qnnen  12805  rpnnen  12818  rexpen  12819  odhash  15200  cygctb  15493  met2ndci  18544  re2ndc  18824  iscmet3  19238  dyadmbl  19484  opnmblALT  19487  mbfimaopnlem  19539  aannenlem3  20239  mblfinlem  26234  heiborlem3  26513  heibor  26521  irrapx1  26882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-er 6897  df-en 7102
  Copyright terms: Public domain W3C validator