Theorem entrt 4414

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
entrt	|- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Proof of Theorem entrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4372	. 2 |- Rel ~~
2		visset 1813	. . 3 |- x e. V
3		visset 1813	. . 3 |- y e. V
4		visset 1813	. . 3 |- z e. V
5		ener 4410	. . 3 |- Er ~~
6	2, 3, 4, 5	ertr 4274	. 2 |- ((x ~~ y /\ y ~~ z) -> x ~~ z)
7	2	enref 4391	. 2 |- x ~~ x
8	1, 6, 7	vtoclrbr 3212	1 |- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   class class class wbr 2619   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  entr 4416  en2sn 4431  sdomdomtr 4469  ensdomtr 4471  domsdomtr 4476  enen1 4477  enen2 4478  xpen 4488  ssenen 4504  phplem4 4511  php3 4515  php3OLD 4516  isfinite1OLD 4531  ssfi 4537  ssfiOLD 4538  isfinite2OLD 4546  unfi 4551  unfiOLD 4552  pm54.43 4572  karden 4726  oncard 4829  carden 4831  unbenlem 7504  unben 7505  infxpidmlem1 7552  infxpidmlem12 7563  infcda 7567  infxp 7572  infmap2 7581  alephadd 7582  set2elt 10545  setwoe 10546  top2usne 10549  homindlem2 10550  homindlem3 10551

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368

Copyright terms: Public domain