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Theorem epfrs 7413
Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on  A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 7414. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
epfrs  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem epfrs
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3464 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 snex 4216 . . . . . 6  |-  { z }  e.  _V
32tz9.1 7411 . . . . 5  |-  E. y
( { z } 
C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z } 
C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )
4 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
54anim2i 552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( {
z }  C_  y  /\  { z }  C_  A ) )
6 ssin 3391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
7 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
87snss 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  <->  { z }  C_  ( y  i^i 
A ) )
96, 8bitr4i 243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  { z } 
C_  A )  <->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
105, 9sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  ( y  i^i  A
) )
11 ne0i 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
A )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  i^i  A )  =/=  (/) )
13 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  A )  C_  A
14 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1514inex1 4155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
1615epfrc 4379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  C_  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
1713, 16mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  ( y  i^i  A
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  (
y  i^i  A )
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )
18 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
1918anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  x  e.  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )
20 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  x  e.  A
)  /\  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2119, 20bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
22 n0 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( x  i^i  A
) )
23 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
2423sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  w  e.  x )
2524ancri 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) ) )
26 trel 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
27 inass 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )
28 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
2928ineq2i 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3027, 29eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
)
3130eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  <->  w  e.  ( y  i^i  (
x  i^i  A )
) )
32 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( y  i^i  ( x  i^i  A
) )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A
) ) )
3331, 32bitr2i 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  <->  w  e.  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
) )
34 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) )
3533, 34sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) )
3635ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
3726, 36syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A )  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
3837exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  (
w  e.  ( x  i^i  A )  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
3938com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  x  ->  ( w  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
4039imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  y  ->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  ( x  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4125, 40syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  ( x  i^i  A
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4241exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  y  ->  ( E. w  w  e.  (
x  i^i  A )  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4322, 42syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4443com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( x  i^i  A )  =/=  (/)  ->  ( (
y  i^i  A )  i^i  x )  =/=  (/) ) ) )
4544imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( y  i^i  A
)  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4645necon4d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  A )  =  (/) ) )
4746anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
4847expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  y  /\  ( x  e.  A  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
4921, 48syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  y  ->  ( (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( ( y  i^i 
A )  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  A  /\  ( x  i^i  A
)  =  (/) ) ) )
5049reximdv2 2652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  y  ->  ( E. x  e.  ( y  i^i  A ) ( ( y  i^i  A )  i^i  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5117, 50syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  y  ->  ( (  _E  Fr  A  /\  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5251exp3acom23 1362 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  y  ->  ( (
y  i^i  A )  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5312, 52syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  y  ->  ( ( { z }  C_  y  /\  z  e.  A
)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5453exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  y  ->  ( {
z }  C_  y  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) ) )
5554impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y )  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
56553adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w ( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  -> 
y  C_  w )
)  ->  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
5756exlimiv 1666 . . . . 5  |-  ( E. y ( { z }  C_  y  /\  Tr  y  /\  A. w
( ( { z }  C_  w  /\  Tr  w )  ->  y  C_  w ) )  -> 
( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) ) )
583, 57ax-mp 8 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
5958exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
601, 59sylbi 187 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  (  _E  Fr  A  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) ) )
6160impcom 419 1  |-  ( (  _E  Fr  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( x  i^i  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   Tr wtr 4113    _E cep 4303    Fr wfr 4349
This theorem is referenced by:  zfregs  7414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
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