MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  epihom Unicode version

Theorem epihom 13888
Description: An epimorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
epihom  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  C_  ( X H Y ) )

Proof of Theorem epihom
Dummy variables  z 
g  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 isepi.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 isepi.e . . . 4  |-  E  =  (Epi `  C )
5 isepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 isepi.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 isepi.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 13886 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( X E Y )  <-> 
( f  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z )
f ) ) ) ) )
9 simpl 444 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) f ) ) )  ->  f  e.  ( X H Y ) )
108, 9syl6bi 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( X E Y )  ->  f  e.  ( X H Y ) ) )
1110ssrdv 3290 1  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  C_  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    C_ wss 3256   <.cop 3753    e. cmpt 4200   `'ccnv 4810   Fun wfun 5381   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389    Hom chom 13460  compcco 13461   Catccat 13809  Epicepi 13875
This theorem is referenced by:  setcepi  14163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-hom 13473  df-cco 13474  df-cat 13813  df-cid 13814  df-oppc 13858  df-mon 13876  df-epi 13877
  Copyright terms: Public domain W3C validator