MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  epii Unicode version

Theorem epii 13646
Description: Property of an epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
epii.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
epii.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
epii.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y H Z ) )
epii.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( Y H Z ) )
Assertion
Ref Expression
epii  |-  ( ph  ->  ( ( G (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  =  ( K (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  <-> 
G  =  K ) )

Proof of Theorem epii
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
4 epii.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
5 isepi.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 isepi.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6oppcco 13620 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) G )  =  ( G ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6oppcco 13620 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) K )  =  ( K ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F ) )
97, 8eqeq12d 2297 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (
<. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) G )  =  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C
) ) X ) K )  <->  ( G
( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F )  =  ( K ( <. X ,  Y >.  .x.  Z ) F ) ) )
103, 1oppcbas 13621 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
11 eqid 2283 . . 3  |-  (  Hom  `  (oppCat `  C )
)  =  (  Hom  `  (oppCat `  C )
)
12 eqid 2283 . . 3  |-  (comp `  (oppCat `  C ) )  =  (comp `  (oppCat `  C ) )
13 eqid 2283 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
14 isepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
153oppccat 13625 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
1614, 15syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
17 epii.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
18 isepi.e . . . . 5  |-  E  =  (Epi `  C )
193, 14, 13, 18oppcmon 13641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
2017, 19eleqtrrd 2360 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
21 epii.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y H Z ) )
22 isepi.h . . . . 5  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
2322, 3oppchom 13618 . . . 4  |-  ( Z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H Z )
2421, 23syl6eleqr 2374 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y ) )
25 epii.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( Y H Z ) )
2625, 23syl6eleqr 2374 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( Z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y ) )
2710, 11, 12, 13, 16, 5, 6, 4, 20, 24, 26moni 13639 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (
<. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) G )  =  ( F ( <. Z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C
) ) X ) K )  <->  G  =  K ) )
289, 27bitr3d 246 1  |-  ( ph  ->  ( ( G (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  =  ( K (
<. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  <-> 
G  =  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566  oppCatcoppc 13614  Monocmon 13631  Epicepi 13632
This theorem is referenced by:  setcepi  13920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-oppc 13615  df-mon 13633  df-epi 13634
  Copyright terms: Public domain W3C validator