MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  episect Unicode version

Theorem episect 13933
Description: If  F is an epimorphism and  F is a section of  G, then  G is an inverse of  F and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
sectepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
sectepi.s  |-  S  =  (Sect `  C )
sectepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
sectepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
sectepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
episect.n  |-  N  =  (Inv `  C )
episect.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
episect.2  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
Assertion
Ref Expression
episect  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )

Proof of Theorem episect
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 sectepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 13871 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2387 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
5 eqid 2387 . . 3  |-  (Sect `  (oppCat `  C ) )  =  (Sect `  (oppCat `  C ) )
6 sectepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
71oppccat 13875 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
9 sectepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 sectepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 eqid 2387 . . 3  |-  (Inv `  (oppCat `  C ) )  =  (Inv `  (oppCat `  C ) )
12 episect.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
13 sectepi.e . . . . 5  |-  E  =  (Epi `  C )
141, 6, 4, 13oppcmon 13891 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1512, 14eleqtrrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
16 episect.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
17 sectepi.s . . . . 5  |-  S  =  (Sect `  C )
182, 1, 6, 10, 9, 17, 5oppcsect 13926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( X (Sect `  (oppCat `  C
) ) Y ) F  <->  F ( X S Y ) G ) )
1916, 18mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( X (Sect `  (oppCat `  C )
) Y ) F )
203, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 19monsect 13931 . 2  |-  ( ph  ->  F ( Y (Inv
`  (oppCat `  C )
) X ) G )
21 episect.n . . . 4  |-  N  =  (Inv `  C )
222, 1, 6, 9, 10, 21, 11oppcinv 13928 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y (Inv `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X N Y ) )
2322breqd 4164 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( Y (Inv `  (oppCat `  C
) ) X ) G  <->  F ( X N Y ) G ) )
2420, 23mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   Catccat 13816  oppCatcoppc 13864  Monocmon 13881  Epicepi 13882  Sectcsect 13897  Invcinv 13898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-hom 13480  df-cco 13481  df-cat 13820  df-cid 13821  df-oppc 13865  df-mon 13883  df-epi 13884  df-sect 13900  df-inv 13901
  Copyright terms: Public domain W3C validator