Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  episect Unicode version

Theorem episect 13933
 Description: If is an epimorphism and is a section of , then is an inverse of and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b
sectepi.e Epi
sectepi.s Sect
sectepi.c
sectepi.x
sectepi.y
episect.n Inv
episect.1
episect.2
Assertion
Ref Expression
episect

Proof of Theorem episect
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . 4 oppCat oppCat
2 sectepi.b . . . 4
31, 2oppcbas 13871 . . 3 oppCat
4 eqid 2387 . . 3 MonooppCat MonooppCat
5 eqid 2387 . . 3 SectoppCat SectoppCat
6 sectepi.c . . . 4
71oppccat 13875 . . . 4 oppCat
86, 7syl 16 . . 3 oppCat
9 sectepi.y . . 3
10 sectepi.x . . 3
11 eqid 2387 . . 3 InvoppCat InvoppCat
12 episect.1 . . . 4
13 sectepi.e . . . . 5 Epi
141, 6, 4, 13oppcmon 13891 . . . 4 MonooppCat
1512, 14eleqtrrd 2464 . . 3 MonooppCat
16 episect.2 . . . 4
17 sectepi.s . . . . 5 Sect
182, 1, 6, 10, 9, 17, 5oppcsect 13926 . . . 4 SectoppCat
1916, 18mpbird 224 . . 3 SectoppCat
203, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 19monsect 13931 . 2 InvoppCat
21 episect.n . . . 4 Inv
222, 1, 6, 9, 10, 21, 11oppcinv 13928 . . 3 InvoppCat
2322breqd 4164 . 2 InvoppCat
2420, 23mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1649   wcel 1717   class class class wbr 4153  cfv 5394  (class class class)co 6020  cbs 13396  ccat 13816  oppCatcoppc 13864  Monocmon 13881  Epicepi 13882  Sectcsect 13897  Invcinv 13898 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-hom 13480  df-cco 13481  df-cat 13820  df-cid 13821  df-oppc 13865  df-mon 13883  df-epi 13884  df-sect 13900  df-inv 13901
 Copyright terms: Public domain W3C validator