MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  episect Structured version   Unicode version

Theorem episect 13999
Description: If  F is an epimorphism and  F is a section of  G, then  G is an inverse of  F and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
sectepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
sectepi.s  |-  S  =  (Sect `  C )
sectepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
sectepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
sectepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
episect.n  |-  N  =  (Inv `  C )
episect.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
episect.2  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
Assertion
Ref Expression
episect  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )

Proof of Theorem episect
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 sectepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 13937 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2436 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
5 eqid 2436 . . 3  |-  (Sect `  (oppCat `  C ) )  =  (Sect `  (oppCat `  C ) )
6 sectepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
71oppccat 13941 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
9 sectepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 sectepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
11 eqid 2436 . . 3  |-  (Inv `  (oppCat `  C ) )  =  (Inv `  (oppCat `  C ) )
12 episect.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X E Y ) )
13 sectepi.e . . . . 5  |-  E  =  (Epi `  C )
141, 6, 4, 13oppcmon 13957 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1512, 14eleqtrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
16 episect.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
17 sectepi.s . . . . 5  |-  S  =  (Sect `  C )
182, 1, 6, 10, 9, 17, 5oppcsect 13992 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( X (Sect `  (oppCat `  C
) ) Y ) F  <->  F ( X S Y ) G ) )
1916, 18mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( X (Sect `  (oppCat `  C )
) Y ) F )
203, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 19monsect 13997 . 2  |-  ( ph  ->  F ( Y (Inv
`  (oppCat `  C )
) X ) G )
21 episect.n . . . 4  |-  N  =  (Inv `  C )
222, 1, 6, 9, 10, 21, 11oppcinv 13994 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y (Inv `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X N Y ) )
2322breqd 4216 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( Y (Inv `  (oppCat `  C
) ) X ) G  <->  F ( X N Y ) G ) )
2420, 23mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  F ( X N Y ) G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462   Catccat 13882  oppCatcoppc 13930  Monocmon 13947  Epicepi 13948  Sectcsect 13963  Invcinv 13964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-hom 13546  df-cco 13547  df-cat 13886  df-cid 13887  df-oppc 13931  df-mon 13949  df-epi 13950  df-sect 13966  df-inv 13967
  Copyright terms: Public domain W3C validator