Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  episect Structured version   Unicode version

Theorem episect 13999
 Description: If is an epimorphism and is a section of , then is an inverse of and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b
sectepi.e Epi
sectepi.s Sect
sectepi.c
sectepi.x
sectepi.y
episect.n Inv
episect.1
episect.2
Assertion
Ref Expression
episect

Proof of Theorem episect
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4 oppCat oppCat
2 sectepi.b . . . 4
31, 2oppcbas 13937 . . 3 oppCat
4 eqid 2436 . . 3 MonooppCat MonooppCat
5 eqid 2436 . . 3 SectoppCat SectoppCat
6 sectepi.c . . . 4
71oppccat 13941 . . . 4 oppCat
86, 7syl 16 . . 3 oppCat
9 sectepi.y . . 3
10 sectepi.x . . 3
11 eqid 2436 . . 3 InvoppCat InvoppCat
12 episect.1 . . . 4
13 sectepi.e . . . . 5 Epi
141, 6, 4, 13oppcmon 13957 . . . 4 MonooppCat
1512, 14eleqtrrd 2513 . . 3 MonooppCat
16 episect.2 . . . 4
17 sectepi.s . . . . 5 Sect
182, 1, 6, 10, 9, 17, 5oppcsect 13992 . . . 4 SectoppCat
1916, 18mpbird 224 . . 3 SectoppCat
203, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 19monsect 13997 . 2 InvoppCat
21 episect.n . . . 4 Inv
222, 1, 6, 9, 10, 21, 11oppcinv 13994 . . 3 InvoppCat
2322breqd 4216 . 2 InvoppCat
2420, 23mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4205  cfv 5447  (class class class)co 6074  cbs 13462  ccat 13882  oppCatcoppc 13930  Monocmon 13947  Epicepi 13948  Sectcsect 13963  Invcinv 13964 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-hom 13546  df-cco 13547  df-cat 13886  df-cid 13887  df-oppc 13931  df-mon 13949  df-epi 13950  df-sect 13966  df-inv 13967
 Copyright terms: Public domain W3C validator