Theorem epne3 2930

Description: A set founded by epsilon contains no 3-cycle loops.

Assertion

Ref	Expression
epne3	|- ((E Fr A /\ (x e. A /\ y e. A /\ z e. A)) -> -. (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))

Proof of Theorem epne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr3nr 2926	. 2 |- ((E Fr A /\ (x e. A /\ y e. A /\ z e. A)) -> -. (xEy /\ yEz /\ zEx))
2		epel 2834	. . . 4 |- (xEy <-> x e. y)
3		epel 2834	. . . 4 |- (yEz <-> y e. z)
4		epel 2834	. . . 4 |- (zEx <-> z e. x)
5	2, 3, 4	3anbi123i 822	. . 3 |- ((xEy /\ yEz /\ zEx) <-> (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))
6	5	negbii 187	. 2 |- (-. (xEy /\ yEz /\ zEx) <-> -. (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))
7	1, 6	sylib 198	1 |- ((E Fr A /\ (x e. A /\ y e. A /\ z e. A)) -> -. (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958   class class class wbr 2619  Ecep 2830   Fr wfr 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-eprel 2832  df-fr 2917

Copyright terms: Public domain