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Theorem epttop 16746
Description: The excluded point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
epttop  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem epttop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab 3251 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )
2 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  y  C_  ~P A )
3 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ~P A  <->  U. y  C_  A )
42, 3sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  C_  A )
5 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
65uniex 4516 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
76elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
84, 7sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  ~P A )
9 eluni2 3831 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  U. y  <->  E. x  e.  y  P  e.  x )
10 r19.29 2683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x )
)
11 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )
1211impr 602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  =  A )
13 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  y  ->  x  C_ 
U. y )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  C_  U. y )
1512, 14eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  A  C_  U. y )
1615rexlimiva 2662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
1710, 16syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
1817ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  -> 
( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y
) )
1918ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y ) )
209, 19syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  A  C_ 
U. y ) )
2120, 4jctild 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
22 eqss 3194 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  =  A  <->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_ 
U. y ) )
2321, 22syl6ibr 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) )
24 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( P  e.  x  <->  P  e.  U. y ) )
25 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  A  <->  U. y  =  A
) )
2624, 25imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  <->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
2726elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( U. y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
288, 23, 27sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
2928ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
301, 29syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
3130alrimiv 1617 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
32 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
33 simprll 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  e.  ~P A )
34 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  C_  A
)
3632, 35syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
375inex1 4155 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
3837elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
3936, 38sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
40 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  z ) )
41 simprlr 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )
42 simprrr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) )
4341, 42anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  =  A  /\  z  =  A )
) )
44 ineq12 3365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  ( A  i^i  A ) )
45 inidm 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  A )  =  A
4644, 45syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  A )
4743, 46syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) )
4840, 47syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
4939, 48jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) ) )
5049ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )  ->  (
( y  i^i  z
)  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) ) )
51 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
52 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  <->  y  =  A ) )
5351, 52imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
5453elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
55 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
56 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  A  <->  z  =  A ) )
5755, 56imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5857elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5954, 58anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  <-> 
( ( y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )
60 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  z
) ) )
61 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  A  <->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
6260, 61imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6362elrab 2923 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6450, 59, 633imtr4g 261 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  ->  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
6564ralrimivv 2634 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
66 pwexg 4194 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
6766adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ~P A  e.  _V )
68 rabexg 4164 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
6967, 68syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
70 istopg 16641 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7169, 70syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7231, 65, 71mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top )
73 pwidg 3637 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
7473adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  ~P A
)
75 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  A )
7675a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) )
77 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  A ) )
78 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  A  <->  A  =  A ) )
7977, 78imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
8079elrab 2923 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( A  e.  ~P A  /\  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
8174, 76, 80sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
82 elssuni 3855 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
8381, 82syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
84 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A
85 sspwuni 3987 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A  <->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8684, 85mpbi 199 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A
8786a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8883, 87eqssd 3196 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
89 istopon 16663 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  /\  A  =  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
9072, 88, 89sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  dfac14lem  17311  dfac14  17312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 16636  df-topon 16639
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