Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eq0rabdioph Unicode version

Theorem eq0rabdioph 26004
Description: This is the first of a number of theorems which allow sets to be proven Diophantine by syntactic induction, and models the correspondence between Diophantine sets and monotone existential first order logic. This first theorem shows that the zero set of an implicit polynomial is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eq0rabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem eq0rabdioph
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1610 . . . . . . . 8  |-  F/ t  N  e.  NN0
2 nfmpt1 4146 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )
32nfel1 2462 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
41, 3nfan 1800 . . . . . . 7  |-  F/ t ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
5 zex 10080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
6 nn0ssz 10091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  C_  ZZ
7 mapss 6853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
85, 6, 7mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
98sseli 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
109adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) )
11 mzpf 25962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
12 mptfcl 25946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ZZ ) )
1312imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ  /\  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1411, 9, 13syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1514adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
16 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )
1716fvmpt2 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  A )
1810, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  A )
1918eqcomd 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  =  ( (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  t ) )
2019eqeq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A  =  0  <-> 
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 ) )
2120ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  =  0  <->  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 t )  =  0 ) ) )
224, 21ralrimi 2658 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 ) )
23 rabbi 2752 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  =  0  <->  ( (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  t )  =  0 )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 } )
2422, 23sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 } )
25 nfcv 2452 . . . . . 6  |-  F/_ t
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
26 nfcv 2452 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
27 nfv 1610 . . . . . 6  |-  F/ a ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0
28 nfcv 2452 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
a
292, 28nffv 5570 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)
3029nfeq1 2461 . . . . . 6  |-  F/ t ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0
31 fveq2 5563 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  a ) )
3231eqeq1d 2324 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  (
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 ) )
3325, 26, 27, 30, 32cbvrab 2820 . . . . 5  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  t
)  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 }
3424, 33syl6eq 2364 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 } )
35 df-rab 2586 . . . 4  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) }
3634, 35syl6eq 2364 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) } )
37 elmapi 6835 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  b : ( 1 ... N ) --> NN0 )
38 ffn 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : ( 1 ... N ) --> NN0  ->  b  Fn  ( 1 ... N ) )
39 fnresdm 5390 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  Fn  ( 1 ... N )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  b )
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  b )
4140eqeq2d 2327 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  b ) )
42 equcom 1671 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  <->  b  =  a )
4341, 42syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  b  =  a ) )
4443anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 b )  =  0 )  <->  ( b  =  a  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) ) )
4544rexbiia 2610 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( b  =  a  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) )
46 fveq2 5563 . . . . . . 7  |-  ( b  =  a  ->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) `  a ) )
4746eqeq1d 2324 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0  <->  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 ) )
4847ceqsrexbv 2936 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) ( b  =  a  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 )  <-> 
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) )
4945, 48bitr2i 241 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) `  a
)  =  0 )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) )
5049abbii 2428 . . 3  |-  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 a )  =  0 ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }
5136, 50syl6eq 2364 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A ) `
 b )  =  0 ) } )
52 simpl 443 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
53 nn0z 10093 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
54 uzid 10289 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5553, 54syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5655adantr 451 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
57 simpr 447 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
58 eldioph 25985 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
5952, 56, 57, 58syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) `  b
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6051, 59eqeltrd 2390 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822    C_ wss 3186    e. cmpt 4114    |` cres 4728    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815   0cc0 8782   1c1 8783   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829  mzPolycmzp 25948  Diophcdioph 25982
This theorem is referenced by:  eqrabdioph  26005  0dioph  26006  vdioph  26007  rmydioph  26255  expdioph  26264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-mzpcl 25949  df-mzp 25950  df-dioph 25983
  Copyright terms: Public domain W3C validator