MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Structured version   Unicode version

Theorem eqfnfvd 5822
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
eqfnfvd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
eqfnfvd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
21ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3 eqfnfvd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 eqfnfvd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
5 eqfnfv 5819 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
63, 4, 5syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
72, 6mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    Fn wfn 5441   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6019  f1eqcocnv  6020  offveq  6317  ackbij2lem2  8112  ackbij2lem3  8113  fpwwe2lem8  8504  seqfeq2  11338  seqfeq  11340  seqfeq3  11365  ccatlid  11740  ccatrid  11741  ccatass  11742  eqs1  11753  swrdid  11764  ccatswrd  11765  swrdccat1  11766  swrdccat2  11767  cats1un  11782  revccat  11790  revrev  11791  seqshft  11892  seq1st  13054  xpsfeq  13781  yonedainv  14370  pwsco1mhm  14761  frgpup3lem  15401  ablfac1eu  15623  psrlidm  16459  psrridm  16460  psrass1  16461  subrgascl  16550  upxp  17647  uptx  17649  cnextfres  18091  ovolshftlem1  19397  volsup  19442  dvidlem  19794  dvrec  19833  dveq0  19876  dv11cn  19877  ftc1cn  19919  evlslem1  19928  coemulc  20165  aannenlem1  20237  ulmuni  20300  ulmdv  20311  ostthlem1  21313  nvinvfval  22113  sspn  22227  kbass2  23612  xppreima2  24052  indpreima  24414  esumcvg  24468  subfacp1lem4  24861  cvmliftmolem2  24961  iprodefisumlem  25309  ftc1cnnc  26269  ismrcd2  26744  frlmup1  27218  frlmup3  27220  frlmup4  27221  f1otrspeq  27358  pmtrfinv  27370  symgtrinv  27381  dvconstbi  27519  swrd0swrd  28163  swrdswrd  28165  swrdccatin1  28171  swrdccatin2  28176  swrdccatin12  28180  eqlkr3  29836  cdleme51finvN  31290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator