MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Unicode version

Theorem eqfnfvd 5641
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
eqfnfvd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
eqfnfvd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
21ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3 eqfnfvd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 eqfnfvd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
5 eqfnfv 5638 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
63, 4, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
72, 6mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    Fn wfn 5266   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  5820  f1eqcocnv  5821  offveq  6114  ackbij2lem2  7882  ackbij2lem3  7883  fpwwe2lem8  8275  seqfeq2  11085  seqfeq  11087  seqfeq3  11112  ccatlid  11450  ccatrid  11451  ccatass  11452  eqs1  11463  swrdid  11474  ccatswrd  11475  swrdccat1  11476  swrdccat2  11477  cats1un  11492  revccat  11500  revrev  11501  seqshft  11596  seq1st  12757  xpsfeq  13482  yonedainv  14071  pwsco1mhm  14462  frgpup3lem  15102  ablfac1eu  15324  psrlidm  16164  psrridm  16165  psrass1  16166  subrgascl  16255  upxp  17333  uptx  17335  ovolshftlem1  18884  volsup  18929  dvidlem  19281  dvrec  19320  dveq0  19363  dv11cn  19364  ftc1cn  19406  evlslem1  19415  coemulc  19652  aannenlem1  19724  ulmdv  19796  ostthlem1  20792  nvinvfval  21214  sspn  21328  kbass2  22713  xppreima2  23227  esumcvg  23469  indpreima  23623  subfacp1lem4  23729  cvmliftmolem2  23828  ftc1cnnc  25025  ismrcd2  26877  frlmup1  27353  frlmup3  27355  frlmup4  27356  f1otrspeq  27493  pmtrfinv  27505  symgtrinv  27516  dvconstbi  27654  eqlkr3  29913  cdleme51finvN  31367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator