MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Unicode version

Theorem eqfnfvd 5762
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
eqfnfvd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
eqfnfvd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
21ralrimiva 2725 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3 eqfnfvd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 eqfnfvd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
5 eqfnfv 5759 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
63, 4, 5syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
72, 6mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    Fn wfn 5382   ` cfv 5387
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  5959  f1eqcocnv  5960  offveq  6257  ackbij2lem2  8046  ackbij2lem3  8047  fpwwe2lem8  8438  seqfeq2  11266  seqfeq  11268  seqfeq3  11293  ccatlid  11668  ccatrid  11669  ccatass  11670  eqs1  11681  swrdid  11692  ccatswrd  11693  swrdccat1  11694  swrdccat2  11695  cats1un  11710  revccat  11718  revrev  11719  seqshft  11820  seq1st  12982  xpsfeq  13709  yonedainv  14298  pwsco1mhm  14689  frgpup3lem  15329  ablfac1eu  15551  psrlidm  16387  psrridm  16388  psrass1  16389  subrgascl  16478  upxp  17569  uptx  17571  cnextfres  18013  ovolshftlem1  19265  volsup  19310  dvidlem  19662  dvrec  19701  dveq0  19744  dv11cn  19745  ftc1cn  19787  evlslem1  19796  coemulc  20033  aannenlem1  20105  ulmuni  20168  ulmdv  20179  ostthlem1  21181  nvinvfval  21962  sspn  22076  kbass2  23461  xppreima2  23895  indpreima  24211  esumcvg  24265  subfacp1lem4  24641  cvmliftmolem2  24741  ftc1cnnc  25972  ismrcd2  26437  frlmup1  26912  frlmup3  26914  frlmup4  26915  f1otrspeq  27052  pmtrfinv  27064  symgtrinv  27075  dvconstbi  27213  eqlkr3  29267  cdleme51finvN  30721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-fv 5395
  Copyright terms: Public domain W3C validator