MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Unicode version

Theorem eqfnfvd 5625
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
eqfnfvd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
eqfnfvd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
21ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3 eqfnfvd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 eqfnfvd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
5 eqfnfv 5622 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
63, 4, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
72, 6mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    Fn wfn 5250   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  5804  f1eqcocnv  5805  offveq  6098  ackbij2lem2  7866  ackbij2lem3  7867  fpwwe2lem8  8259  seqfeq2  11069  seqfeq  11071  seqfeq3  11096  ccatlid  11434  ccatrid  11435  ccatass  11436  eqs1  11447  swrdid  11458  ccatswrd  11459  swrdccat1  11460  swrdccat2  11461  cats1un  11476  revccat  11484  revrev  11485  seqshft  11580  seq1st  12741  xpsfeq  13466  yonedainv  14055  pwsco1mhm  14446  frgpup3lem  15086  ablfac1eu  15308  psrlidm  16148  psrridm  16149  psrass1  16150  subrgascl  16239  upxp  17317  uptx  17319  ovolshftlem1  18868  volsup  18913  dvidlem  19265  dvrec  19304  dveq0  19347  dv11cn  19348  ftc1cn  19390  evlslem1  19399  coemulc  19636  aannenlem1  19708  ulmdv  19780  ostthlem1  20776  nvinvfval  21198  sspn  21312  kbass2  22697  xppreima2  23212  esumcvg  23454  indpreima  23608  subfacp1lem4  23714  cvmliftmolem2  23813  ismrcd2  26774  frlmup1  27250  frlmup3  27252  frlmup4  27253  f1otrspeq  27390  pmtrfinv  27402  symgtrinv  27413  dvconstbi  27551  eqlkr3  29291  cdleme51finvN  30745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator