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Theorem eqgcpbl 14957
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
eqgcpbl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14935 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G
) )
3 subgrcl 14912 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  G  e.  Grp )
5 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  .~  C )
6 eqger.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgss 14908 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
82, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  C_  X )
9 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
11 eqger.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
126, 9, 10, 11eqgval 14952 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
134, 8, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
145, 13mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) )
1514simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  e.  X )
16 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  .~  D )
176, 9, 10, 11eqgval 14952 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
184, 8, 17syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
1916, 18mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) )
2019simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  e.  X )
216, 10grpcl 14781 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
224, 15, 20, 21syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  e.  X )
2314simp2d 970 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  C  e.  X )
2419simp2d 970 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  D  e.  X )
256, 10grpcl 14781 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C  .+  D
)  e.  X )
264, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( C  .+  D
)  e.  X )
276, 10, 9grpinvadd 14830 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
284, 15, 20, 27syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
2928oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 A ) ) 
.+  ( C  .+  D ) ) )
306, 9grpinvcl 14813 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
314, 20, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
326, 9grpinvcl 14813 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
334, 15, 32syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
346, 10grpass 14782 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  A )  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
3629, 35eqtrd 2444 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
376, 10grpass 14782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
3938oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
) )
406, 10grpcl 14781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
414, 33, 23, 40syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
426, 10grpass 14782 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  D
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  ( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) ) ) )
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4439, 43eqtr3d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4514simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
)
4619simp3d 971 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
)
47 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
486, 10nsgbi 14934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
4947, 31, 24, 48syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
5046, 49mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
5110subgcl 14917 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  e.  Y  /\  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
522, 45, 50, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
5344, 52eqeltrd 2486 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
546, 10grpcl 14781 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
554, 33, 26, 54syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
566, 10nsgbi 14934 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5747, 55, 31, 56syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5853, 57mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y
)
5936, 58eqeltrd 2486 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  Y )
606, 9, 10, 11eqgval 14952 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
614, 8, 60syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  .~  ( C  .+  D ) )
6362ex 424 1  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   Grpcgrp 14648   inv gcminusg 14649  SubGrpcsubg 14901  NrmSGrpcnsg 14902   ~QG cqg 14903
This theorem is referenced by:  divsgrp  14958  divsadd  14960  divs1  16269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
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