MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Unicode version

Theorem eqgcpbl 14881
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
eqgcpbl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14859 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G
) )
3 subgrcl 14836 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  G  e.  Grp )
5 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  .~  C )
6 eqger.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgss 14832 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
82, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  C_  X )
9 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
11 eqger.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
126, 9, 10, 11eqgval 14876 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
134, 8, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
145, 13mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) )
1514simp1d 968 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  e.  X )
16 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  .~  D )
176, 9, 10, 11eqgval 14876 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
184, 8, 17syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
1916, 18mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) )
2019simp1d 968 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  e.  X )
216, 10grpcl 14705 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
224, 15, 20, 21syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  e.  X )
2314simp2d 969 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  C  e.  X )
2419simp2d 969 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  D  e.  X )
256, 10grpcl 14705 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C  .+  D
)  e.  X )
264, 23, 24, 25syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( C  .+  D
)  e.  X )
276, 10, 9grpinvadd 14754 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
284, 15, 20, 27syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
2928oveq1d 5996 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 A ) ) 
.+  ( C  .+  D ) ) )
306, 9grpinvcl 14737 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
314, 20, 30syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
326, 9grpinvcl 14737 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
334, 15, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
346, 10grpass 14706 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  A )  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
3629, 35eqtrd 2398 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
376, 10grpass 14706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
3938oveq1d 5996 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
) )
406, 10grpcl 14705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
414, 33, 23, 40syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
426, 10grpass 14706 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  D
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  ( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) ) ) )
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4439, 43eqtr3d 2400 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4514simp3d 970 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
)
4619simp3d 970 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
)
47 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
486, 10nsgbi 14858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
4947, 31, 24, 48syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
5046, 49mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
5110subgcl 14841 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  e.  Y  /\  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
522, 45, 50, 51syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
5344, 52eqeltrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
546, 10grpcl 14705 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
554, 33, 26, 54syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
566, 10nsgbi 14858 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5747, 55, 31, 56syl3anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5853, 57mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y
)
5936, 58eqeltrd 2440 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  Y )
606, 9, 10, 11eqgval 14876 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
614, 8, 60syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1136 . 2  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  .~  ( C  .+  D ) )
6362ex 423 1  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   Grpcgrp 14572   inv gcminusg 14573  SubGrpcsubg 14825  NrmSGrpcnsg 14826   ~QG cqg 14827
This theorem is referenced by:  divsgrp  14882  divsadd  14884  divs1  16197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-subg 14828  df-nsg 14829  df-eqg 14830
  Copyright terms: Public domain W3C validator