MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Unicode version

Theorem eqgcpbl 14671
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
eqgcpbl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14649 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G
) )
3 subgrcl 14626 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  G  e.  Grp )
5 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  .~  C )
6 eqger.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgss 14622 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
82, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  C_  X )
9 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
11 eqger.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
126, 9, 10, 11eqgval 14666 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
134, 8, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
145, 13mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) )
1514simp1d 967 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  e.  X )
16 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  .~  D )
176, 9, 10, 11eqgval 14666 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
184, 8, 17syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
1916, 18mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) )
2019simp1d 967 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  e.  X )
216, 10grpcl 14495 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
224, 15, 20, 21syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  e.  X )
2314simp2d 968 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  C  e.  X )
2419simp2d 968 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  D  e.  X )
256, 10grpcl 14495 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C  .+  D
)  e.  X )
264, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( C  .+  D
)  e.  X )
276, 10, 9grpinvadd 14544 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
284, 15, 20, 27syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
2928oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 A ) ) 
.+  ( C  .+  D ) ) )
306, 9grpinvcl 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
314, 20, 30syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
326, 9grpinvcl 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
334, 15, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
346, 10grpass 14496 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  A )  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
3629, 35eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
376, 10grpass 14496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
3938oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
) )
406, 10grpcl 14495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
414, 33, 23, 40syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
426, 10grpass 14496 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  D
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  ( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) ) ) )
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4439, 43eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4514simp3d 969 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
)
4619simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
)
47 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
486, 10nsgbi 14648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
4947, 31, 24, 48syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
5046, 49mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
5110subgcl 14631 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  e.  Y  /\  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
522, 45, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
5344, 52eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
546, 10grpcl 14495 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
554, 33, 26, 54syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
566, 10nsgbi 14648 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5747, 55, 31, 56syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5853, 57mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y
)
5936, 58eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  Y )
606, 9, 10, 11eqgval 14666 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
614, 8, 60syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  .~  ( C  .+  D ) )
6362ex 423 1  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615  NrmSGrpcnsg 14616   ~QG cqg 14617
This theorem is referenced by:  divsgrp  14672  divsadd  14674  divs1  15987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620
  Copyright terms: Public domain W3C validator