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Theorem eqgcpbl 15025
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
eqgcpbl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 15003 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
21adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G
) )
3 subgrcl 14980 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  G  e.  Grp )
5 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  .~  C )
6 eqger.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgss 14976 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
82, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  C_  X )
9 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
11 eqger.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
126, 9, 10, 11eqgval 15020 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
134, 8, 12syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
145, 13mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) )
1514simp1d 970 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  e.  X )
16 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  .~  D )
176, 9, 10, 11eqgval 15020 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
184, 8, 17syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
1916, 18mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) )
2019simp1d 970 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  e.  X )
216, 10grpcl 14849 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
224, 15, 20, 21syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  e.  X )
2314simp2d 971 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  C  e.  X )
2419simp2d 971 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  D  e.  X )
256, 10grpcl 14849 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C  .+  D
)  e.  X )
264, 23, 24, 25syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( C  .+  D
)  e.  X )
276, 10, 9grpinvadd 14898 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
284, 15, 20, 27syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) ) )
2928oveq1d 6125 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 A ) ) 
.+  ( C  .+  D ) ) )
306, 9grpinvcl 14881 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
314, 20, 30syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
326, 9grpinvcl 14881 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
334, 15, 32syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
346, 10grpass 14850 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  A )  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( inv g `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
3629, 35eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
376, 10grpass 14850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
3938oveq1d 6125 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
) )
406, 10grpcl 14849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
414, 33, 23, 40syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
426, 10grpass 14850 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  D
)  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  ( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) ) ) )
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4439, 43eqtr3d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) ) )
4514simp3d 972 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
)
4619simp3d 972 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
)
47 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
486, 10nsgbi 15002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( ( inv g `  G ) `
 B )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
4947, 31, 24, 48syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( inv g `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
5046, 49mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( D  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
5110subgcl 14985 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  C )  e.  Y  /\  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
522, 45, 50, 51syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( inv g `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
5344, 52eqeltrd 2516 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
546, 10grpcl 14849 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
554, 33, 26, 54syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
566, 10nsgbi 15002 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X  /\  ( ( inv g `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5747, 55, 31, 56syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( inv g `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .+  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5853, 57mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 B )  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y
)
5936, 58eqeltrd 2516 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  Y )
606, 9, 10, 11eqgval 15020 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
614, 8, 60syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1138 . 2  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  .~  ( C  .+  D ) )
6362ex 425 1  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   Grpcgrp 14716   inv gcminusg 14717  SubGrpcsubg 14969  NrmSGrpcnsg 14970   ~QG cqg 14971
This theorem is referenced by:  divsgrp  15026  divsadd  15028  divs1  16337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-subg 14972  df-nsg 14973  df-eqg 14974
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