Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Structured version   Unicode version

Theorem eqgcpbl 15025
 Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x
eqger.r ~QG
eqgcpbl.p
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl NrmSGrp

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 15003 . . . . . 6 NrmSGrp SubGrp
21adantr 453 . . . . 5 NrmSGrp SubGrp
3 subgrcl 14980 . . . . 5 SubGrp
42, 3syl 16 . . . 4 NrmSGrp
5 simprl 734 . . . . . 6 NrmSGrp
6 eqger.x . . . . . . . . 9
76subgss 14976 . . . . . . . 8 SubGrp
82, 7syl 16 . . . . . . 7 NrmSGrp
9 eqid 2442 . . . . . . . 8
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8
11 eqger.r . . . . . . . 8 ~QG
126, 9, 10, 11eqgval 15020 . . . . . . 7
134, 8, 12syl2anc 644 . . . . . 6 NrmSGrp
145, 13mpbid 203 . . . . 5 NrmSGrp
1514simp1d 970 . . . 4 NrmSGrp
16 simprr 735 . . . . . 6 NrmSGrp
176, 9, 10, 11eqgval 15020 . . . . . . 7
184, 8, 17syl2anc 644 . . . . . 6 NrmSGrp
1916, 18mpbid 203 . . . . 5 NrmSGrp
2019simp1d 970 . . . 4 NrmSGrp
216, 10grpcl 14849 . . . 4
224, 15, 20, 21syl3anc 1185 . . 3 NrmSGrp
2314simp2d 971 . . . 4 NrmSGrp
2419simp2d 971 . . . 4 NrmSGrp
256, 10grpcl 14849 . . . 4
264, 23, 24, 25syl3anc 1185 . . 3 NrmSGrp
276, 10, 9grpinvadd 14898 . . . . . . 7
284, 15, 20, 27syl3anc 1185 . . . . . 6 NrmSGrp
2928oveq1d 6125 . . . . 5 NrmSGrp
306, 9grpinvcl 14881 . . . . . . 7
314, 20, 30syl2anc 644 . . . . . 6 NrmSGrp
326, 9grpinvcl 14881 . . . . . . 7
334, 15, 32syl2anc 644 . . . . . 6 NrmSGrp
346, 10grpass 14850 . . . . . 6
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1187 . . . . 5 NrmSGrp
3629, 35eqtrd 2474 . . . 4 NrmSGrp
376, 10grpass 14850 . . . . . . . . 9
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1187 . . . . . . . 8 NrmSGrp
3938oveq1d 6125 . . . . . . 7 NrmSGrp
406, 10grpcl 14849 . . . . . . . . 9
414, 33, 23, 40syl3anc 1185 . . . . . . . 8 NrmSGrp
426, 10grpass 14850 . . . . . . . 8
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1187 . . . . . . 7 NrmSGrp
4439, 43eqtr3d 2476 . . . . . 6 NrmSGrp
4514simp3d 972 . . . . . . 7 NrmSGrp
4619simp3d 972 . . . . . . . 8 NrmSGrp
47 simpl 445 . . . . . . . . 9 NrmSGrp NrmSGrp
486, 10nsgbi 15002 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
4947, 31, 24, 48syl3anc 1185 . . . . . . . 8 NrmSGrp
5046, 49mpbid 203 . . . . . . 7 NrmSGrp
5110subgcl 14985 . . . . . . 7 SubGrp
522, 45, 50, 51syl3anc 1185 . . . . . 6 NrmSGrp
5344, 52eqeltrd 2516 . . . . 5 NrmSGrp
546, 10grpcl 14849 . . . . . . 7
554, 33, 26, 54syl3anc 1185 . . . . . 6 NrmSGrp
566, 10nsgbi 15002 . . . . . 6 NrmSGrp
5747, 55, 31, 56syl3anc 1185 . . . . 5 NrmSGrp
5853, 57mpbid 203 . . . 4 NrmSGrp
5936, 58eqeltrd 2516 . . 3 NrmSGrp
606, 9, 10, 11eqgval 15020 . . . 4
614, 8, 60syl2anc 644 . . 3 NrmSGrp
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1138 . 2 NrmSGrp
6362ex 425 1 NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727   wss 3306   class class class wbr 4237  cfv 5483  (class class class)co 6110  cbs 13500   cplusg 13560  cgrp 14716  cminusg 14717  SubGrpcsubg 14969  NrmSGrpcnsg 14970   ~QG cqg 14971 This theorem is referenced by:  divsgrp  15026  divsadd  15028  divs1  16337 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-subg 14972  df-nsg 14973  df-eqg 14974
 Copyright terms: Public domain W3C validator