Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgen Structured version   Unicode version

Theorem eqgen 14993
 Description: Each coset is equipotent to the subgroup itself (which is also the coset containing the identity). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x
eqger.r ~QG
Assertion
Ref Expression
eqgen SubGrp

Proof of Theorem eqgen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2
2 breq2 4216 . 2
3 simpl 444 . . . 4 SubGrp SubGrp
4 subgrcl 14949 . . . . . . 7 SubGrp
5 eqger.x . . . . . . . 8
65subgss 14945 . . . . . . 7 SubGrp
74, 6jca 519 . . . . . 6 SubGrp
8 eqger.r . . . . . . . 8 ~QG
9 eqid 2436 . . . . . . . 8
105, 8, 9eqglact 14991 . . . . . . 7
11103expa 1153 . . . . . 6
127, 11sylan 458 . . . . 5 SubGrp
13 ovex 6106 . . . . . . 7 ~QG
148, 13eqeltri 2506 . . . . . 6
15 ecexg 6909 . . . . . 6
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5
1712, 16syl6eqelr 2525 . . . 4 SubGrp
18 eqid 2436 . . . . . . . . 9
1918, 5, 9grplactf1o 14888 . . . . . . . 8
2018, 5grplactfval 14885 . . . . . . . . . 10
2120adantl 453 . . . . . . . . 9
22 f1oeq1 5665 . . . . . . . . 9
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8
2419, 23mpbid 202 . . . . . . 7
254, 24sylan 458 . . . . . 6 SubGrp
26 f1of1 5673 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5 SubGrp
286adantr 452 . . . . 5 SubGrp
29 f1ores 5689 . . . . 5
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . 4 SubGrp
31 f1oen2g 7124 . . . 4 SubGrp
323, 17, 30, 31syl3anc 1184 . . 3 SubGrp
3332, 12breqtrrd 4238 . 2 SubGrp
341, 2, 33ectocld 6971 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cres 4880  cima 4881  wf1 5451  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cec 6903  cqs 6904   cen 7106  cbs 13469   cplusg 13529  cgrp 14685  SubGrpcsubg 14938   ~QG cqg 14940 This theorem is referenced by:  lagsubg2  15001  sylow2blem1  15254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-ec 6907  df-qs 6911  df-en 7110  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-eqg 14943
 Copyright terms: Public domain W3C validator