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Theorem eqger 14667
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
Assertion
Ref Expression
eqger  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)

Proof of Theorem eqger
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqger.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
21releqg 14664 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 10 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Rel  .~  )
4 subgrcl 14626 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 eqger.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
65subgss 14622 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
8 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
95, 7, 8, 1eqgval 14666 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) ) )
104, 6, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y ) ) )
1110biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) )
1211simp2d 968 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  e.  X )
1311simp1d 967 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  x  e.  X )
144adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  G  e.  Grp )
155, 7grpinvcl 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
1614, 13, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
175, 8, 7grpinvadd 14544 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) ) ) )
1814, 16, 12, 17syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) ) ) )
195, 7grpinvinv 14535 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) )  =  x )
2014, 13, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) )  =  x )
2120oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x ) )
2218, 21eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) x ) )
2311simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )
247subginvcl 14630 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2523, 24syldan 456 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2622, 25eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
276adantr 451 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  Y  C_  X )
285, 7, 8, 1eqgval 14666 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
2914, 27, 28syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
3012, 13, 26, 29mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  .~  x )
3113adantrr 697 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  e.  X
)
325, 7, 8, 1eqgval 14666 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
334, 6, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
3433biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  .~  z )  ->  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )
3534adantrl 696 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) )
3635simp2d 968 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  z  e.  X
)
374adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  G  e.  Grp )
3837, 31, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X )
3912adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  y  e.  X
)
405, 7grpinvcl 14527 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
4137, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  X )
425, 8grpcl 14495 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)
4337, 41, 36, 42syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)
445, 8grpass 14496 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
4537, 38, 39, 43, 44syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
475, 8, 46, 7grprinv 14529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
4837, 39, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
4948oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
505, 8grpass 14496 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
5137, 39, 41, 36, 50syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
525, 8, 46grplid 14512 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5337, 36, 52syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5449, 51, 533eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
5554oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) z ) )
5645, 55eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z ) )
57 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
5823adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y )  e.  Y
)
5935simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
608subgcl 14631 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  Y )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  Y )
6256, 61eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
636adantr 451 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  C_  X
)
645, 7, 8, 1eqgval 14666 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  z  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6537, 63, 64syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( x  .~  z 
<->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6631, 36, 62, 65mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  .~  z
)
675, 8, 46, 7grplinv 14528 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
684, 67sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
6946subg0cl 14629 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  Y
)
7069adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  Y )
7168, 70eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
7271ex 423 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
7372pm4.71rd 616 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
745, 7, 8, 1eqgval 14666 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
754, 6, 74syl2anc 642 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
76 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
77 anidm 625 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  <->  x  e.  X )
7877anbi2ci 677 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
7976, 78bitri 240 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
8075, 79syl6bb 252 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
8173, 80bitr4d 247 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  .~  x
) )
823, 30, 66, 81iserd 6686 1  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   ~QG cqg 14617
This theorem is referenced by:  divsgrp  14672  divsadd  14674  lagsubg2  14678  lagsubg  14679  orbstafun  14765  orbstaval  14766  orbsta  14767  orbsta2  14768  sylow2blem1  14931  sylow2blem2  14932  sylow2blem3  14933  sylow3lem3  14940  sylow3lem4  14941  2idlcpbl  15986  divs1  15987  divsrhm  15989  divscrng  15992  zndvds  16503  cldsubg  17793  divstgpopn  17802  divstgphaus  17805  tgptsmscls  17832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-eqg 14620
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