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Theorem eqger 14766
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
Assertion
Ref Expression
eqger  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)

Proof of Theorem eqger
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqger.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
21releqg 14763 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 10 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Rel  .~  )
4 subgrcl 14725 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 eqger.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
65subgss 14721 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
7 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
8 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
95, 7, 8, 1eqgval 14765 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) ) )
104, 6, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y ) ) )
1110biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) )
1211simp2d 968 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  e.  X )
1311simp1d 967 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  x  e.  X )
144adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  G  e.  Grp )
155, 7grpinvcl 14626 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
1614, 13, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
175, 8, 7grpinvadd 14643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) ) ) )
1814, 16, 12, 17syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) ) ) )
195, 7grpinvinv 14634 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) )  =  x )
2014, 13, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) )  =  x )
2120oveq2d 5961 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x ) )
2218, 21eqtrd 2390 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) x ) )
2311simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )
247subginvcl 14729 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2523, 24syldan 456 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2622, 25eqeltrrd 2433 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
276adantr 451 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  Y  C_  X )
285, 7, 8, 1eqgval 14765 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
2914, 27, 28syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
3012, 13, 26, 29mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  .~  x )
3113adantrr 697 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  e.  X
)
325, 7, 8, 1eqgval 14765 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
334, 6, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
3433biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  .~  z )  ->  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )
3534adantrl 696 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) )
3635simp2d 968 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  z  e.  X
)
374adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  G  e.  Grp )
3837, 31, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X )
3912adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  y  e.  X
)
405, 7grpinvcl 14626 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
4137, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  X )
425, 8grpcl 14594 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)
4337, 41, 36, 42syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)
445, 8grpass 14595 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
4537, 38, 39, 43, 44syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
46 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
475, 8, 46, 7grprinv 14628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
4837, 39, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
4948oveq1d 5960 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
505, 8grpass 14595 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
5137, 39, 41, 36, 50syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
525, 8, 46grplid 14611 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5337, 36, 52syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5449, 51, 533eqtr3d 2398 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
5554oveq2d 5961 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) z ) )
5645, 55eqtrd 2390 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z ) )
57 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
5823adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y )  e.  Y
)
5935simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
608subgcl 14730 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  Y )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  Y )
6256, 61eqeltrrd 2433 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
636adantr 451 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  C_  X
)
645, 7, 8, 1eqgval 14765 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  z  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6537, 63, 64syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( x  .~  z 
<->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6631, 36, 62, 65mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  .~  z
)
675, 8, 46, 7grplinv 14627 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
684, 67sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
6946subg0cl 14728 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  Y
)
7069adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  Y )
7168, 70eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
7271ex 423 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
7372pm4.71rd 616 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
745, 7, 8, 1eqgval 14765 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
754, 6, 74syl2anc 642 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
76 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
77 anidm 625 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  <->  x  e.  X )
7877anbi2ci 677 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
7976, 78bitri 240 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
8075, 79syl6bb 252 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
8173, 80bitr4d 247 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  .~  x
) )
823, 30, 66, 81iserd 6773 1  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   Rel wrel 4776   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    Er wer 6744   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   0gc0g 13499   Grpcgrp 14461   inv gcminusg 14462  SubGrpcsubg 14714   ~QG cqg 14716
This theorem is referenced by:  divsgrp  14771  divsadd  14773  lagsubg2  14777  lagsubg  14778  orbstafun  14864  orbstaval  14865  orbsta  14866  orbsta2  14867  sylow2blem1  15030  sylow2blem2  15031  sylow2blem3  15032  sylow3lem3  15039  sylow3lem4  15040  2idlcpbl  16085  divs1  16086  divsrhm  16088  divscrng  16091  zndvds  16609  cldsubg  17895  divstgpopn  17904  divstgphaus  17907  tgptsmscls  17934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-subg 14717  df-eqg 14719
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