MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqger Structured version   Unicode version

Theorem eqger 14995
Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
Assertion
Ref Expression
eqger  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)

Proof of Theorem eqger
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqger.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
21releqg 14992 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 11 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Rel  .~  )
4 subgrcl 14954 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 eqger.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
65subgss 14950 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
7 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
95, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) ) )
104, 6, 9syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y ) ) )
1110biimpa 472 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y )  e.  Y
) )
1211simp2d 971 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  e.  X )
1311simp1d 970 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  x  e.  X )
144adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  G  e.  Grp )
155, 7grpinvcl 14855 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
1614, 13, 15syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
175, 8, 7grpinvadd 14872 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) ) ) )
1814, 16, 12, 17syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) ) ) )
195, 7grpinvinv 14863 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) )  =  x )
2014, 13, 19syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  x
) )  =  x )
2120oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x ) )
2218, 21eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) x ) )
2311simp3d 972 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )
247subginvcl 14958 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2523, 24syldan 458 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) )  e.  Y )
2622, 25eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
276adantr 453 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  Y  C_  X )
285, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
2914, 27, 28syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  (
y  .~  x  <->  ( y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
3012, 13, 26, 29mpbir3and 1138 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  .~  y )  ->  y  .~  x )
3113adantrr 699 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  e.  X
)
325, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
334, 6, 32syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( y  .~  z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
3433biimpa 472 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  .~  z )  ->  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )
3534adantrl 698 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) )
3635simp2d 971 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  z  e.  X
)
374adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  G  e.  Grp )
3837, 31, 15syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X )
3912adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  y  e.  X
)
405, 7grpinvcl 14855 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
4137, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  X )
425, 8grpcl 14823 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)
4337, 41, 36, 42syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)
445, 8grpass 14824 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
4537, 38, 39, 43, 44syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
46 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
475, 8, 46, 7grprinv 14857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
4837, 39, 47syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
4948oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
505, 8grpass 14824 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
5137, 39, 41, 36, 50syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
525, 8, 46grplid 14840 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5337, 36, 52syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5449, 51, 533eqtr3d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
5554oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) z ) )
5645, 55eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z ) )
57 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
5823adantrr 699 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) y )  e.  Y
)
5935simp3d 972 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
608subgcl 14959 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y )  e.  Y  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  Y )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  Y )
6256, 61eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )
( +g  `  G ) z )  e.  Y
)
636adantr 453 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  Y  C_  X
)
645, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  z  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6537, 63, 64syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  ( x  .~  z 
<->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
6631, 36, 62, 65mpbir3and 1138 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  .~  y  /\  y  .~  z ) )  ->  x  .~  z
)
675, 8, 46, 7grplinv 14856 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
684, 67sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )
6946subg0cl 14957 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  Y
)
7069adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  Y )
7168, 70eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )
7271ex 425 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
7372pm4.71rd 618 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
745, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
) ) )
754, 6, 74syl2anc 644 . . . 4  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) ) )
76 df-3an 939 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y ) )
77 anidm 627 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X )  <->  x  e.  X )
7877anbi2ci 679 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y )  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
7976, 78bitri 242 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x ) ( +g  `  G ) x )  e.  Y
)  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
8075, 79syl6bb 254 . . 3  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  .~  x  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  x
) ( +g  `  G
) x )  e.  Y  /\  x  e.  X ) ) )
8173, 80bitr4d 249 . 2  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  .~  x
) )
823, 30, 66, 81iserd 6934 1  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   Rel wrel 4886   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    Er wer 6905   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691  SubGrpcsubg 14943   ~QG cqg 14945
This theorem is referenced by:  divsgrp  15000  divsadd  15002  lagsubg2  15006  lagsubg  15007  orbstafun  15093  orbstaval  15094  orbsta  15095  orbsta2  15096  sylow2blem1  15259  sylow2blem2  15260  sylow2blem3  15261  sylow3lem3  15268  sylow3lem4  15269  2idlcpbl  16310  divs1  16311  divsrhm  16313  divscrng  16316  zndvds  16835  cldsubg  18145  divstgpopn  18154  divstgphaus  18157  tgptsmscls  18184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-eqg 14948
  Copyright terms: Public domain W3C validator