Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqger Structured version   Unicode version

Theorem eqger 14995
 Description: The subgroup coset equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x
eqger.r ~QG
Assertion
Ref Expression
eqger SubGrp

Proof of Theorem eqger
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqger.r . . . 4 ~QG
21releqg 14992 . . 3
32a1i 11 . 2 SubGrp
4 subgrcl 14954 . . . . . 6 SubGrp
5 eqger.x . . . . . . 7
65subgss 14950 . . . . . 6 SubGrp
7 eqid 2438 . . . . . . 7
8 eqid 2438 . . . . . . 7
95, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . . . 6
104, 6, 9syl2anc 644 . . . . 5 SubGrp
1110biimpa 472 . . . 4 SubGrp
1211simp2d 971 . . 3 SubGrp
1311simp1d 970 . . 3 SubGrp
144adantr 453 . . . . . 6 SubGrp
155, 7grpinvcl 14855 . . . . . . 7
1614, 13, 15syl2anc 644 . . . . . 6 SubGrp
175, 8, 7grpinvadd 14872 . . . . . 6
1814, 16, 12, 17syl3anc 1185 . . . . 5 SubGrp
195, 7grpinvinv 14863 . . . . . . 7
2014, 13, 19syl2anc 644 . . . . . 6 SubGrp
2120oveq2d 6100 . . . . 5 SubGrp
2218, 21eqtrd 2470 . . . 4 SubGrp
2311simp3d 972 . . . . 5 SubGrp
247subginvcl 14958 . . . . 5 SubGrp
2523, 24syldan 458 . . . 4 SubGrp
2622, 25eqeltrrd 2513 . . 3 SubGrp
276adantr 453 . . . 4 SubGrp
285, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . 4
2914, 27, 28syl2anc 644 . . 3 SubGrp
3012, 13, 26, 29mpbir3and 1138 . 2 SubGrp
3113adantrr 699 . . 3 SubGrp
325, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . . . . 7
334, 6, 32syl2anc 644 . . . . . 6 SubGrp
3433biimpa 472 . . . . 5 SubGrp
3534adantrl 698 . . . 4 SubGrp
3635simp2d 971 . . 3 SubGrp
374adantr 453 . . . . . 6 SubGrp
3837, 31, 15syl2anc 644 . . . . . 6 SubGrp
3912adantrr 699 . . . . . 6 SubGrp
405, 7grpinvcl 14855 . . . . . . . 8
4137, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . 7 SubGrp
425, 8grpcl 14823 . . . . . . 7
4337, 41, 36, 42syl3anc 1185 . . . . . 6 SubGrp
445, 8grpass 14824 . . . . . 6
4537, 38, 39, 43, 44syl13anc 1187 . . . . 5 SubGrp
46 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
475, 8, 46, 7grprinv 14857 . . . . . . . . 9
4837, 39, 47syl2anc 644 . . . . . . . 8 SubGrp
4948oveq1d 6099 . . . . . . 7 SubGrp
505, 8grpass 14824 . . . . . . . 8
5137, 39, 41, 36, 50syl13anc 1187 . . . . . . 7 SubGrp
525, 8, 46grplid 14840 . . . . . . . 8
5337, 36, 52syl2anc 644 . . . . . . 7 SubGrp
5449, 51, 533eqtr3d 2478 . . . . . 6 SubGrp
5554oveq2d 6100 . . . . 5 SubGrp
5645, 55eqtrd 2470 . . . 4 SubGrp
57 simpl 445 . . . . 5 SubGrp SubGrp
5823adantrr 699 . . . . 5 SubGrp
5935simp3d 972 . . . . 5 SubGrp
608subgcl 14959 . . . . 5 SubGrp
6157, 58, 59, 60syl3anc 1185 . . . 4 SubGrp
6256, 61eqeltrrd 2513 . . 3 SubGrp
636adantr 453 . . . 4 SubGrp
645, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . 4
6537, 63, 64syl2anc 644 . . 3 SubGrp
6631, 36, 62, 65mpbir3and 1138 . 2 SubGrp
675, 8, 46, 7grplinv 14856 . . . . . . 7
684, 67sylan 459 . . . . . 6 SubGrp
6946subg0cl 14957 . . . . . . 7 SubGrp
7069adantr 453 . . . . . 6 SubGrp
7168, 70eqeltrd 2512 . . . . 5 SubGrp
7271ex 425 . . . 4 SubGrp
7372pm4.71rd 618 . . 3 SubGrp
745, 7, 8, 1eqgval 14994 . . . . 5
754, 6, 74syl2anc 644 . . . 4 SubGrp
76 df-3an 939 . . . . 5
77 anidm 627 . . . . . 6
7877anbi2ci 679 . . . . 5
7976, 78bitri 242 . . . 4
8075, 79syl6bb 254 . . 3 SubGrp
8173, 80bitr4d 249 . 2 SubGrp
823, 30, 66, 81iserd 6934 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322   class class class wbr 4215   wrel 4886  cfv 5457  (class class class)co 6084   wer 6905  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728  cgrp 14690  cminusg 14691  SubGrpcsubg 14943   ~QG cqg 14945 This theorem is referenced by:  divsgrp  15000  divsadd  15002  lagsubg2  15006  lagsubg  15007  orbstafun  15093  orbstaval  15094  orbsta  15095  orbsta2  15096  sylow2blem1  15259  sylow2blem2  15260  sylow2blem3  15261  sylow3lem3  15268  sylow3lem4  15269  2idlcpbl  16310  divs1  16311  divsrhm  16313  divscrng  16316  zndvds  16835  cldsubg  18145  divstgpopn  18154  divstgphaus  18157  tgptsmscls  18184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-eqg 14948
 Copyright terms: Public domain W3C validator