Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgval Unicode version

Theorem eqgval 14666
 Description: Value of the subgroup left coset equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgval.x
eqgval.n
eqgval.p
eqgval.r ~QG
Assertion
Ref Expression
eqgval

Proof of Theorem eqgval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqgval.x . . . 4
2 eqgval.n . . . 4
3 eqgval.p . . . 4
4 eqgval.r . . . 4 ~QG
51, 2, 3, 4eqgfval 14665 . . 3
65breqd 4034 . 2
7 relopab 4812 . . . . . 6
87brrelexi 4729 . . . . 5
97brrelex2i 4730 . . . . 5
108, 9jca 518 . . . 4
12 simpr1 961 . . . . 5
13 elex 2796 . . . . 5
1412, 13syl 15 . . . 4
15 simpr2 962 . . . . 5
16 elex 2796 . . . . 5
1715, 16syl 15 . . . 4
1814, 17jca 518 . . 3
19 vex 2791 . . . . . . . 8
20 vex 2791 . . . . . . . 8
2119, 20prss 3769 . . . . . . 7
22 eleq1 2343 . . . . . . . 8
23 eleq1 2343 . . . . . . . 8
2422, 23bi2anan9 843 . . . . . . 7
2521, 24syl5bbr 250 . . . . . 6
26 fveq2 5525 . . . . . . . 8
27 id 19 . . . . . . . 8
2826, 27oveqan12d 5877 . . . . . . 7
2928eleq1d 2349 . . . . . 6
3025, 29anbi12d 691 . . . . 5
31 df-3an 936 . . . . 5
3230, 31syl6bbr 254 . . . 4
33 eqid 2283 . . . 4
3432, 33brabga 4279 . . 3
3511, 18, 34pm5.21nd 868 . 2
366, 35bitrd 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   wss 3152  cpr 3641   class class class wbr 4023  copab 4076  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cminusg 14363   ~QG cqg 14617 This theorem is referenced by:  eqger  14667  eqglact  14668  eqgid  14669  eqgcpbl  14671  gastacos  14764  orbstafun  14765  sylow2blem1  14931  sylow2blem3  14933  eqgabl  15131  tgpconcompeqg  17794  tgpconcomp  17795  divstgpopn  17802 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-eqg 14620
 Copyright terms: Public domain W3C validator