Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgval Structured version   Unicode version

Theorem eqgval 14989
 Description: Value of the subgroup left coset equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgval.x
eqgval.n
eqgval.p
eqgval.r ~QG
Assertion
Ref Expression
eqgval

Proof of Theorem eqgval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqgval.x . . . 4
2 eqgval.n . . . 4
3 eqgval.p . . . 4
4 eqgval.r . . . 4 ~QG
51, 2, 3, 4eqgfval 14988 . . 3
65breqd 4223 . 2
7 brabv 6120 . . . 4
9 simpr1 963 . . . . 5
10 elex 2964 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 simpr2 964 . . . . 5
13 elex 2964 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
1511, 14jca 519 . . 3
16 vex 2959 . . . . . . . 8
17 vex 2959 . . . . . . . 8
1816, 17prss 3952 . . . . . . 7
19 eleq1 2496 . . . . . . . 8
20 eleq1 2496 . . . . . . . 8
2119, 20bi2anan9 844 . . . . . . 7
2218, 21syl5bbr 251 . . . . . 6
23 fveq2 5728 . . . . . . . 8
24 id 20 . . . . . . . 8
2523, 24oveqan12d 6100 . . . . . . 7
2625eleq1d 2502 . . . . . 6
2722, 26anbi12d 692 . . . . 5
28 df-3an 938 . . . . 5
2927, 28syl6bbr 255 . . . 4
30 eqid 2436 . . . 4
3129, 30brabga 4469 . . 3
328, 15, 31pm5.21nd 869 . 2
336, 32bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320  cpr 3815   class class class wbr 4212  copab 4265  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  cminusg 14686   ~QG cqg 14940 This theorem is referenced by:  eqger  14990  eqglact  14991  eqgid  14992  eqgcpbl  14994  gastacos  15087  orbstafun  15088  sylow2blem1  15254  sylow2blem3  15256  eqgabl  15454  tgpconcompeqg  18141  tgpconcomp  18142  divstgpopn  18149 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-eqg 14943
 Copyright terms: Public domain W3C validator