MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqle Structured version   Unicode version

Theorem eqle 9177
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 9170 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
2 breq2 4217 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <_  A  <->  A  <_  B ) )
32biimpac 474 . 2  |-  ( ( A  <_  A  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
41, 3sylan 459 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   RRcr 8990    <_ cle 9122
This theorem is referenced by:  sqrneglem  12073  leabs  12105  cjcn2  12394  abscvgcvg  12599  dvlip  19878  dvfsumlem3  19913  dvradcnv  20338  ppip1le  20945  dchrvmasumiflem2  21197  dchrisum0lem3  21214  rplogsum  21222  mudivsum  21225  nmlno0lem  22295  nmblolbii  22301  nmlnop0iALT  23499  nmbdoplbi  23528  nmcoplbi  23532  nmbdfnlbi  23553  nmcfnlbi  23556  pjnmopi  23652  areacirc  26298  dvconstbi  27529  2cshwmod  28258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator