Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr Unicode version

Theorem eqlkr 29911
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Distinct variable groups:    x, r, D    x, F    G, r, x    H, r, x    V, r, x    K, r    x, L    .x. , r    x, W
Allowed substitution hints:    .x. ( x)    F( r)    K( x)    L( r)    W( r)

Proof of Theorem eqlkr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15875 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
3 eqlkr.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15651 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Ring )
61, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  D  e.  Ring )
7 eqlkr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
97, 8rngidcl 15377 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  K )
106, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( 1r `  D )  e.  K
)
11 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
1211, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  D  e.  Ring )
13 simp12l 1068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
14 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
15 eqlkr.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 eqlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  W )
173, 7, 15, 16lflcl 29876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
1811, 13, 14, 17syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  e.  K )
19 eqlkr.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  D )
207, 19, 8rngridm 15381 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x
) )
2112, 18, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x ) )
22 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
23 simp13 987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )
2411, 2syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
25 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
26 eqlkr.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  (LKer `  W )
273, 25, 15, 16, 26lkr0f 29906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( L `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
2824, 13, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
2922, 28mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  V )
3023, 29eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  H
)  =  V )
31 simp12r 1069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  e.  F )
323, 25, 15, 16, 26lkr0f 29906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  (
( L `  H
)  =  V  <->  H  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
3324, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  H )  =  V  <-> 
H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
3430, 33mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
3522, 34eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  H )
3635fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  =  ( H `
 x ) )
3721, 36eqtr2d 2329 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( 1r `  D ) ) )
38373expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
3938ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
40 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
4140eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4241ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4342rspcev 2897 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  D
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
4410, 39, 43syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
45 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
46 simpl2l 1008 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  e.  F
)
47 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
483, 25, 8, 15, 16lfl1 29882 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
50 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  W  e.  LVec )
51 simpl2r 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  H  e.  F )
52 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  z  e.  V )
533, 7, 15, 16lflcl 29876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  z  e.  V )  ->  ( H `  z )  e.  K )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  K
)
55 simp11 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
5655, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LMod )
57 simp12r 1069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  H  e.  F )
58 simp12l 1068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  G  e.  F )
59 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  V )
603, 7, 15, 16lflcl 29876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
6156, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
62 simp22 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  z  e.  V )
63 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
643, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 29880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6556, 57, 61, 62, 64syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6665oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) ) )
6715, 3, 63, 7lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  z  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )
6856, 61, 62, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( .s `  W
) z )  e.  V )
69 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
70 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
713, 69, 15, 70, 16lflsub 29879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7256, 57, 59, 68, 71syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7315, 70lmodvsubcl 15686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  V  /\  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )  -> 
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  V )
7456, 59, 68, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  V
)
753, 69, 15, 70, 16lflsub 29879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7656, 58, 59, 68, 75syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7755, 58, 59, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
783, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 29880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
7956, 58, 77, 62, 78syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
80 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
8180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( G `  z
) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) )
8255, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Ring )
8382, 77, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D
) )  =  ( G `  x ) )
8479, 81, 833eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( G `  x ) )
8584oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( G `  x
) ( -g `  D
) ( G `  x ) ) )
863lmodfgrp 15652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
872, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Grp )
8855, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Grp )
897, 25, 69grpsubid 14566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  x )  e.  K )  -> 
( ( G `  x ) ( -g `  D ) ( G `
 x ) )  =  ( 0g `  D ) )
9088, 77, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  x
) )  =  ( 0g `  D ) )
9176, 85, 903eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
9215, 3, 25, 16, 26ellkr 29901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  G )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9355, 58, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  G
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9474, 91, 93mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  G ) )
95 simp13 987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )
9694, 95eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  H ) )
9715, 3, 25, 16, 26ellkr 29901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  H )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9855, 57, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  H
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9996, 98mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) )
10099simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
10172, 100eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D ) )
10266, 101eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) )  =  ( 0g `  D ) )
1033, 7, 15, 16lflcl 29876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  e.  K )
10455, 57, 59, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  e.  K
)
105543adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  z )  e.  K
)
1063, 7, 19lmodmcl 15655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  ( H `  z )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )
10756, 77, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z
) )  e.  K
)
1087, 25, 69grpsubeq0 14568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( H `  x )  e.  K  /\  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )  ->  (
( ( H `  x ) ( -g `  D ) ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
10988, 104, 107, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <-> 
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) ) )
110102, 109mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
1111103expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `
 x )  =  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) ) )
112111ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
113 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )
114113eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
115114ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
116115rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( H `  z
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
11754, 112, 116syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
1181173exp2 1169 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) ) ) )
119118imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) ) )
120119rexlimdv 2679 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) )
12149, 120mpd 14 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
12244, 121pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {csn 3653    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643   LVecclvec 15871  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897
This theorem is referenced by:  eqlkr2  29912  eqlkr3  29913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lvec 15872  df-lfl 29870  df-lkr 29898
  Copyright terms: Public domain W3C validator