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Theorem eqlkr 29289
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Distinct variable groups:    x, r, D    x, F    G, r, x    H, r, x    V, r, x    K, r    x, L    .x. , r    x, W
Allowed substitution hints:    .x. ( x)    F( r)    K( x)    L( r)    W( r)

Proof of Theorem eqlkr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15859 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
3 eqlkr.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15635 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Ring )
61, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  D  e.  Ring )
7 eqlkr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
97, 8rngidcl 15361 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  K )
106, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( 1r `  D )  e.  K
)
11 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
1211, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  D  e.  Ring )
13 simp12l 1068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
14 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
15 eqlkr.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 eqlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  W )
173, 7, 15, 16lflcl 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
1811, 13, 14, 17syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  e.  K )
19 eqlkr.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  D )
207, 19, 8rngridm 15365 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x
) )
2112, 18, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x ) )
22 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
23 simp13 987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )
2411, 2syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
26 eqlkr.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  (LKer `  W )
273, 25, 15, 16, 26lkr0f 29284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( L `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
2824, 13, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
2922, 28mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  V )
3023, 29eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  H
)  =  V )
31 simp12r 1069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  e.  F )
323, 25, 15, 16, 26lkr0f 29284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  (
( L `  H
)  =  V  <->  H  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
3324, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  H )  =  V  <-> 
H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
3430, 33mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
3522, 34eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  H )
3635fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  =  ( H `
 x ) )
3721, 36eqtr2d 2316 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( 1r `  D ) ) )
38373expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
3938ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
40 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
4140eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4241ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4342rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  D
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
4410, 39, 43syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
45 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
46 simpl2l 1008 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  e.  F
)
47 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
483, 25, 8, 15, 16lfl1 29260 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
50 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  W  e.  LVec )
51 simpl2r 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  H  e.  F )
52 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  z  e.  V )
533, 7, 15, 16lflcl 29254 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  z  e.  V )  ->  ( H `  z )  e.  K )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  K
)
55 simp11 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
5655, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LMod )
57 simp12r 1069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  H  e.  F )
58 simp12l 1068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  G  e.  F )
59 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  V )
603, 7, 15, 16lflcl 29254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
6156, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
62 simp22 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  z  e.  V )
63 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
643, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 29258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6556, 57, 61, 62, 64syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6665oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) ) )
6715, 3, 63, 7lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  z  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )
6856, 61, 62, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( .s `  W
) z )  e.  V )
69 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
70 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
713, 69, 15, 70, 16lflsub 29257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7256, 57, 59, 68, 71syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7315, 70lmodvsubcl 15670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  V  /\  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )  -> 
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  V )
7456, 59, 68, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  V
)
753, 69, 15, 70, 16lflsub 29257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7656, 58, 59, 68, 75syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7755, 58, 59, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
783, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 29258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
7956, 58, 77, 62, 78syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
80 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
8180oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( G `  z
) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) )
8255, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Ring )
8382, 77, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D
) )  =  ( G `  x ) )
8479, 81, 833eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( G `  x ) )
8584oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( G `  x
) ( -g `  D
) ( G `  x ) ) )
863lmodfgrp 15636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
872, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Grp )
8855, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Grp )
897, 25, 69grpsubid 14550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  x )  e.  K )  -> 
( ( G `  x ) ( -g `  D ) ( G `
 x ) )  =  ( 0g `  D ) )
9088, 77, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  x
) )  =  ( 0g `  D ) )
9176, 85, 903eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
9215, 3, 25, 16, 26ellkr 29279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  G )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9355, 58, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  G
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9474, 91, 93mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  G ) )
95 simp13 987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )
9694, 95eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  H ) )
9715, 3, 25, 16, 26ellkr 29279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  H )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9855, 57, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  H
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9996, 98mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) )
10099simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
10172, 100eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D ) )
10266, 101eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) )  =  ( 0g `  D ) )
1033, 7, 15, 16lflcl 29254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  e.  K )
10455, 57, 59, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  e.  K
)
105543adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  z )  e.  K
)
1063, 7, 19lmodmcl 15639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  ( H `  z )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )
10756, 77, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z
) )  e.  K
)
1087, 25, 69grpsubeq0 14552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( H `  x )  e.  K  /\  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )  ->  (
( ( H `  x ) ( -g `  D ) ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
10988, 104, 107, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <-> 
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) ) )
110102, 109mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
1111103expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
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)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `
 x )  =  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) ) )
112111ralrimiv 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
113 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )
114113eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( H `  x
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.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
115114ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
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)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
116115rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( H `  z
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
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)
11754, 112, 116syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
1181173exp2 1169 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) ) ) )
119118imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) ) )
120119rexlimdv 2666 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
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( 0g `  D
) } ) )  ->  ( E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
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12149, 120mpd 14 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
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( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
12244, 121pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
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 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {csn 3640    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Ringcrg 15337   1rcur 15339   LModclmod 15627   LVecclvec 15855  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275
This theorem is referenced by:  eqlkr2  29290  eqlkr3  29291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lvec 15856  df-lfl 29248  df-lkr 29276
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