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Theorem eqlkr 29899
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Distinct variable groups:    x, r, D    x, F    G, r, x    H, r, x    V, r, x    K, r    x, L    .x. , r    x, W
Allowed substitution hints:    .x. ( x)    F( r)    K( x)    L( r)    W( r)

Proof of Theorem eqlkr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16180 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
3 eqlkr.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15960 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Ring )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  D  e.  Ring )
7 eqlkr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
8 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
97, 8rngidcl 15686 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  K )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( 1r `  D )  e.  K
)
11 simp11 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
1211, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  D  e.  Ring )
13 simp12l 1071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
14 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
15 eqlkr.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 eqlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  W )
173, 7, 15, 16lflcl 29864 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
1811, 13, 14, 17syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  e.  K )
19 eqlkr.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  D )
207, 19, 8rngridm 15690 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x
) )
2112, 18, 20syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D ) )  =  ( G `  x ) )
22 simp2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
23 simp13 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )
2411, 2syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
26 eqlkr.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  (LKer `  W )
273, 25, 15, 16, 26lkr0f 29894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( L `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
2824, 13, 27syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
2922, 28mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  G
)  =  V )
3023, 29eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  H
)  =  V )
31 simp12r 1072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  e.  F )
323, 25, 15, 16, 26lkr0f 29894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  (
( L `  H
)  =  V  <->  H  =  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } ) ) )
3324, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( L `  H )  =  V  <-> 
H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) ) )
3430, 33mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  H  =  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
3522, 34eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  G  =  H )
3635fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x
)  =  ( H `
 x ) )
3721, 36eqtr2d 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( 1r `  D ) ) )
38373expia 1156 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
3938ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
40 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )
4140eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4241ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( r  =  ( 1r `  D )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) ) )
4342rspcev 3054 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  D
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( 1r `  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
4410, 39, 43syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
45 simpl1 961 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  W  e.  LVec )
46 simpl2l 1011 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  e.  F
)
47 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g
`  D ) } ) )
483, 25, 8, 15, 16lfl1 29870 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
50 simpl1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  W  e.  LVec )
51 simpl2r 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  H  e.  F )
52 simpr2 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  z  e.  V )
533, 7, 15, 16lflcl 29864 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  z  e.  V )  ->  ( H `  z )  e.  K )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  K
)
55 simp11 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
5655, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  W  e.  LMod )
57 simp12r 1072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  H  e.  F )
58 simp12l 1071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  G  e.  F )
59 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  x  e.  V )
603, 7, 15, 16lflcl 29864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  K )
6156, 58, 59, 60syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
62 simp22 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  z  e.  V )
63 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
643, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 29868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6556, 57, 61, 62, 64syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
6665oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) ) )
6715, 3, 63, 7lmodvscl 15969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  z  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )
6856, 61, 62, 67syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( .s `  W
) z )  e.  V )
69 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
70 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
713, 69, 15, 70, 16lflsub 29867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7256, 57, 59, 68, 71syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( H `  x ) ( -g `  D
) ( H `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7315, 70lmodvsubcl 15991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  V  /\  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z )  e.  V )  -> 
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  V )
7456, 59, 68, 73syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  V
)
753, 69, 15, 70, 16lflsub 29867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  V  /\  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7656, 58, 59, 68, 75syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( ( G `  x ) ( -g `  D
) ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) ) )
7755, 58, 59, 17syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  e.  K
)
783, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 29868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( G `  x
)  e.  K  /\  z  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
7956, 58, 77, 62, 78syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( G `  z ) ) )
80 simp23 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  z )  =  ( 1r `  D ) )
8180oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( G `  z
) )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( 1r `  D ) ) )
8255, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Ring )
8382, 77, 20syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( 1r `  D
) )  =  ( G `  x ) )
8479, 81, 833eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  =  ( G `  x ) )
8584oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( ( G `  x
) ( -g `  D
) ( G `  x ) ) )
863lmodfgrp 15961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
872, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e. 
Grp )
8855, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  D  e.  Grp )
897, 25, 69grpsubid 14875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  x )  e.  K )  -> 
( ( G `  x ) ( -g `  D ) ( G `
 x ) )  =  ( 0g `  D ) )
9088, 77, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )
( -g `  D ) ( G `  x
) )  =  ( 0g `  D ) )
9176, 85, 903eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
9215, 3, 25, 16, 26ellkr 29889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  G )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9355, 58, 92syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  G
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( G `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9474, 91, 93mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  G ) )
95 simp13 990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )
9694, 95eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( x
( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) )  e.  ( L `  H ) )
9715, 3, 25, 16, 26ellkr 29889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  (
( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) )  e.  ( L `  H )  <->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9855, 57, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  ( L `  H
)  <->  ( ( x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
9996, 98mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
x ( -g `  W
) ( ( G `
 x ) ( .s `  W ) z ) )  e.  V  /\  ( H `
 ( x (
-g `  W )
( ( G `  x ) ( .s
`  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D
) ) )
10099simprd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  ( x ( -g `  W ) ( ( G `  x ) ( .s `  W
) z ) ) )  =  ( 0g
`  D ) )
10172, 100eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( H `  (
( G `  x
) ( .s `  W ) z ) ) )  =  ( 0g `  D ) )
10266, 101eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( H `  x )
( -g `  D ) ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) )  =  ( 0g `  D ) )
1033, 7, 15, 16lflcl 29864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  e.  K )
10455, 57, 59, 103syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  e.  K
)
105543adant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  z )  e.  K
)
1063, 7, 19lmodmcl 15964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  x )  e.  K  /\  ( H `  z )  e.  K )  ->  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )
10756, 77, 105, 106syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z
) )  e.  K
)
1087, 25, 69grpsubeq0 14877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( H `  x )  e.  K  /\  (
( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) )  e.  K )  ->  (
( ( H `  x ) ( -g `  D ) ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
10988, 104, 107, 108syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( (
( H `  x
) ( -g `  D
) ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  =  ( 0g `  D )  <-> 
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) 
.x.  ( H `  z ) ) ) )
110102, 109mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
1111103expia 1156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( H `
 x )  =  ( ( G `  x )  .x.  ( H `  z )
) ) )
112111ralrimiv 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) )
113 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( G `  x
)  .x.  r )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )
114113eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  (
( H `  x
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.x.  r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
115114ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( H `  z )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
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)  .x.  ( H `  z ) ) ) )
116115rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( H `  z
)  e.  K  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  ( H `  z ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
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)
11754, 112, 116syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  ( G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  D ) } )  /\  z  e.  V  /\  ( G `  z
)  =  ( 1r
`  D ) ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
)
1181173exp2 1172 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) ) ) )
119118imp 420 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  D
) } ) )  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) ) )
120119rexlimdv 2831 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
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( 0g `  D
) } ) )  ->  ( E. z  e.  V  ( G `  z )  =  ( 1r `  D )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
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12149, 120mpd 15 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
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( 0g `  D
) } ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
12244, 121pm2.61dane 2684 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
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 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {csn 3816    X. cxp 4878   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687   -gcsg 14690   Ringcrg 15662   1rcur 15664   LModclmod 15952   LVecclvec 16176  LFnlclfn 29857  LKerclk 29885
This theorem is referenced by:  eqlkr2  29900  eqlkr3  29901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lvec 16177  df-lfl 29858  df-lkr 29886
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