Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Structured version   Unicode version

Theorem eqlkr2 29900
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    G, r    H, r    V, r    K, r    .x. , r    F, r    L, r    W, r

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 eqlkr.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 eqlkr.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  D )
4 eqlkr.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqlkr.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 eqlkr.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 29899 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
8 fvex 5744 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
94, 8eqeltri 2508 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  V  e.  _V )
11 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  W  e.  LVec )
12 simpl2l 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  e.  F )
131, 2, 4, 5lflf 29863 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
1411, 12, 13syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G : V --> K )
15 ffn 5593 . . . . 5  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  Fn  V )
17 vex 2961 . . . . 5  |-  r  e. 
_V
18 fnconstg 5633 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
1917, 18mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
20 simpl2r 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  e.  F )
211, 2, 4, 5lflf 29863 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> K )
2211, 20, 21syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H : V --> K )
23 ffn 5593 . . . . 5  |-  ( H : V --> K  ->  H  Fn  V )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  Fn  V )
25 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2617fvconst2 5949 . . . . 5  |-  ( x  e.  V  ->  (
( V  X.  {
r } ) `  x )  =  r )
2726adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V  X.  { r } ) `  x )  =  r )
2810, 16, 19, 24, 25, 27offveqb 6328 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { r } ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) )
2928rexbidva 2724 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( E. r  e.  K  H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  {
r } ) )  <->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) )
307, 29mpbird 225 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   {csn 3816    X. cxp 4878    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   Basecbs 13471   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   LVecclvec 16176  LFnlclfn 29857  LKerclk 29885
This theorem is referenced by:  lfl1dim  29921  lfl1dim2N  29922  eqlkr4  29965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lvec 16177  df-lfl 29858  df-lkr 29886
  Copyright terms: Public domain W3C validator