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Theorem eqlkr3 29961
Description: Two functionals with the same kernel are equal if they are equal at any nonzero value. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr3.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
eqlkr3.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
eqlkr3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
eqlkr3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
eqlkr3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
eqlkr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
eqlkr3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
eqlkr3.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
eqlkr3.e  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
eqlkr3.a  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
eqlkr3.n  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
eqlkr3  |-  ( ph  ->  G  =  H )

Proof of Theorem eqlkr3
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 eqlkr3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqlkr3.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
4 eqlkr3.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
5 eqlkr3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqlkr3.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
73, 4, 5, 6lflf 29923 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> R )
81, 2, 7syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> R )
9 ffn 5593 . . 3  |-  ( G : V --> R  ->  G  Fn  V )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
11 eqlkr3.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
123, 4, 5, 6lflf 29923 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> R )
131, 11, 12syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  H : V --> R )
14 ffn 5593 . . 3  |-  ( H : V --> R  ->  H  Fn  V )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
16 eqlkr3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
17 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
18 eqlkr3.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
193, 4, 17, 5, 6, 18eqlkr 29959 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
201, 2, 11, 16, 19syl121anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) )
21 eqlkr3.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2221adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  X  e.  V )
23 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
24 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
2524oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )
2623, 25eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  X )  =  ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
2726rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) ) )
29 eqlkr3.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =  ( H `  X ) )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( G `  X
)  =  ( H `
 X ) )
32 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )
3331, 32eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r )  =  ( G `
 X ) )
3433oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) )
353lvecdrng 16179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  e.  DivRing )
3736adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  DivRing )
383, 4, 5, 6lflcl 29924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  R )
391, 2, 21, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  R )
4039adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  e.  R )
41 eqlkr3.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  .0.  )
4241adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( G `  X )  =/=  .0.  )
43 eqlkr3.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
44 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
45 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invr `  S )  =  (
invr `  S )
464, 43, 17, 44, 45drnginvrl 15856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4737, 40, 42, 46syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( G `  X
) )  =  ( 1r `  S ) )
4847oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( 1r `  S ) ( .r
`  S ) r ) )
49 lveclmod 16180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
513lmodrng 15960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5352adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  S  e.  Ring )
544, 43, 45drnginvrcl 15854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  R  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
5537, 40, 42, 54syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( invr `  S ) `  ( G `  X
) )  e.  R
)
56 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  r  e.  R )
574, 17rngass 15682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) )  e.  R  /\  ( G `
 X )  e.  R  /\  r  e.  R ) )  -> 
( ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( G `  X ) ) ( .r `  S ) r )  =  ( ( (
invr `  S ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  S ) ( ( G `  X
) ( .r `  S ) r ) ) )
5853, 55, 40, 56, 57syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) ) ( .r `  S
) r )  =  ( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) ) )
594, 17, 44rnglidm 15689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6053, 56, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( 1r `  S
) ( .r `  S ) r )  =  r )
6148, 58, 603eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( ( invr `  S
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r
`  S ) r ) )  =  r )
6261adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r ) )  =  r )
6347adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
( ( ( invr `  S ) `  ( G `  X )
) ( .r `  S ) ( G `
 X ) )  =  ( 1r `  S ) )
6434, 62, 633eqtr3d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  R )  /\  ( H `  X )  =  ( ( G `
 X ) ( .r `  S ) r ) )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) )
6564ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
( H `  X
)  =  ( ( G `  X ) ( .r `  S
) r )  -> 
r  =  ( 1r
`  S ) ) )
6628, 65syld 43 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  r  =  ( 1r `  S ) ) )
6766ancrd 539 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  ->  (
r  =  ( 1r
`  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6867reximdva 2820 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r )  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) ) )
6920, 68mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) ) )
704, 44rngidcl 15686 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  R )
7152, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  R )
72 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) r )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7372eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( G `  x ) ( .r `  S
) r )  <->  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7473ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( 1r `  S )  ->  ( A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) r )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) ) ) )
7574ceqsrexv 3071 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  S )  e.  R  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S )  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  ( r  =  ( 1r `  S
)  /\  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
) ( .r `  S ) r ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) ) )
7769, 76mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7877r19.21bi 2806 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x ) ( .r `  S ) ( 1r `  S
) ) )
7950adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
8079, 51syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  S  e.  Ring )
811adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
822adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
83 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
843, 4, 5, 6lflcl 29924 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
8581, 82, 83, 84syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  R )
864, 17, 44rngridm 15690 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( G `  x )  e.  R )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8780, 85, 86syl2anc 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( G `  x
) ( .r `  S ) ( 1r
`  S ) )  =  ( G `  x ) )
8878, 87eqtr2d 2471 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  =  ( H `  x ) )
8910, 15, 88eqfnfvd 5832 1  |-  ( ph  ->  G  =  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   0gc0g 13725   Ringcrg 15662   1rcur 15664   invrcinvr 15778   DivRingcdr 15837   LModclmod 15952   LVecclvec 16176  LFnlclfn 29917  LKerclk 29945
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  32358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lvec 16177  df-lfl 29918  df-lkr 29946
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