Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr4 Unicode version

Theorem eqlkr4 29414
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr4.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
eqlkr4.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
eqlkr4.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr4.k  |-  K  =  (LKer `  W )
eqlkr4.d  |-  D  =  (LDual `  W )
eqlkr4.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
eqlkr4.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
eqlkr4.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
eqlkr4.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
eqlkr4.e  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
Assertion
Ref Expression
eqlkr4  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  H  =  ( r  .x.  G ) )
Distinct variable groups:    F, r    G, r    H, r    K, r    R, r    S, r    W, r    ph, r
Allowed substitution hints:    D( r)    .x. ( r)

Proof of Theorem eqlkr4
StepHypRef Expression
1 eqlkr4.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 eqlkr4.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqlkr4.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
4 eqlkr4.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )
5 eqlkr4.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  W )
6 eqlkr4.r . . . 4  |-  R  =  ( Base `  S
)
7 eqid 2366 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
8 eqid 2366 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 eqlkr4.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
10 eqlkr4.k . . . 4  |-  K  =  (LKer `  W )
115, 6, 7, 8, 9, 10eqlkr2 29349 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( K `  G
)  =  ( K `
 H ) )  ->  E. r  e.  R  H  =  ( G  o F ( .r `  S ) ( (
Base `  W )  X.  { r } ) ) )
121, 2, 3, 4, 11syl121anc 1188 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  H  =  ( G  o F ( .r `  S ) ( (
Base `  W )  X.  { r } ) ) )
13 eqlkr4.d . . . . 5  |-  D  =  (LDual `  W )
14 eqlkr4.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  D )
151adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  W  e.  LVec )
16 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  r  e.  R )
172adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  G  e.  F )
189, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17ldualvs 29386 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  (
r  .x.  G )  =  ( G  o F ( .r `  S ) ( (
Base `  W )  X.  { r } ) ) )
1918eqeq2d 2377 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  R )  ->  ( H  =  ( r  .x.  G )  <->  H  =  ( G  o F
( .r `  S
) ( ( Base `  W )  X.  {
r } ) ) ) )
2019rexbidva 2645 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  R  H  =  ( r  .x.  G )  <->  E. r  e.  R  H  =  ( G  o F ( .r `  S ) ( (
Base `  W )  X.  { r } ) ) ) )
2112, 20mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  R  H  =  ( r  .x.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629   {csn 3729    X. cxp 4790   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   Basecbs 13356   .rcmulr 13417  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   LVecclvec 16065  LFnlclfn 29306  LKerclk 29334  LDualcld 29372
This theorem is referenced by:  lkrss2N  29418  lcfrlem16  31807  mapdrvallem2  31894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lvec 16066  df-lfl 29307  df-lkr 29335  df-ldual 29373
  Copyright terms: Public domain W3C validator