MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqneg Unicode version

Theorem eqneg 9525
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 9028 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
2 negid 9139 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
3 ax-1cn 8840 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
43, 3addcli 8886 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
54mul01i 9047 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  =  0
62, 5syl6reqr 2367 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  0 )  =  ( A  +  -u A ) )
71, 6eqeq12d 2330 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  ( A  +  A )  =  ( A  +  -u A
) ) )
8 id 19 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
9 0cn 8876 . . . 4  |-  0  e.  CC
109a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
114a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  e.  CC )
12 1re 8882 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1312, 12readdcli 8895 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
14 0lt1 9341 . . . . . 6  |-  0  <  1
1512, 12, 14, 14addgt0ii 9360 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  +  1 )
1613, 15gt0ne0ii 9354 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =/=  0
1716a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  =/=  0 )
188, 10, 11, 17mulcand 9446 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  A  = 
0 ) )
19 negcl 9097 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
208, 8, 19addcand 9060 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  =  ( A  +  -u A )  <->  A  =  -u A ) )
217, 18, 203bitr3rd 275 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479  (class class class)co 5900   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787   -ucneg 9083
This theorem is referenced by:  eqnegd  9526  eqnegi  9534  cjreb  11655  monotoddzzfi  26175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085
  Copyright terms: Public domain W3C validator