MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqneg Structured version   Unicode version

Theorem eqneg 9734
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 9237 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
2 negid 9348 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
3 ax-1cn 9048 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
43, 3addcli 9094 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
54mul01i 9256 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  =  0
62, 5syl6reqr 2487 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  0 )  =  ( A  +  -u A ) )
71, 6eqeq12d 2450 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  ( A  +  A )  =  ( A  +  -u A
) ) )
8 id 20 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
9 0cn 9084 . . . 4  |-  0  e.  CC
109a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
114a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  e.  CC )
12 1re 9090 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1312, 12readdcli 9103 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
14 0lt1 9550 . . . . . 6  |-  0  <  1
1512, 12, 14, 14addgt0ii 9569 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  +  1 )
1613, 15gt0ne0ii 9563 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =/=  0
1716a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  =/=  0 )
188, 10, 11, 17mulcand 9655 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  A  = 
0 ) )
19 negcl 9306 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
208, 8, 19addcand 9269 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  =  ( A  +  -u A )  <->  A  =  -u A ) )
217, 18, 203bitr3rd 276 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   -ucneg 9292
This theorem is referenced by:  eqnegd  9735  eqnegi  9743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator