MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b Structured version   Unicode version

Theorem eqoprab2b 6132
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4484. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 6131 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
2 ssoprab2b 6131 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) )
31, 2anbi12i 679 . 2  |-  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
4 eqss 3363 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
5 2albiim 1622 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ph  <->  ps )  <->  ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
65albii 1575 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  A. x
( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
7 19.26 1603 . . 3  |-  ( A. x ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
86, 7bitri 241 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
93, 4, 83bitr4i 269 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    C_ wss 3320   {coprab 6082
This theorem is referenced by:  mpt22eqb  6179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-oprab 6085
  Copyright terms: Public domain W3C validator