MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b Unicode version

Theorem eqoprab2b 5906
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4294. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 5905 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
2 ssoprab2b 5905 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) )
31, 2anbi12i 678 . 2  |-  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
4 eqss 3194 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
5 2albiim 1599 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ph  <->  ps )  <->  ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
65albii 1553 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  A. x
( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
7 19.26 1580 . . 3  |-  ( A. x ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
86, 7bitri 240 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
93, 4, 83bitr4i 268 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    C_ wss 3152   {coprab 5859
This theorem is referenced by:  mpt22eqb  5953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-oprab 5862
  Copyright terms: Public domain W3C validator