Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqrabdioph Unicode version

Theorem eqrabdioph 26857
Description: Diophantine set builder for equality of polynomial expressions. Note that the two expressions need not be non-negative; only variables are so constrained. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eqrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hints:    A( t)    B( t)

Proof of Theorem eqrabdioph
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )
21nfel1 2429 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
3 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )
43nfel1 2429 . . . . . 6  |-  F/ t ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )
52, 4nfan 1771 . . . . 5  |-  F/ t ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
6 mzpf 26814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
76ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
8 zex 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
9 nn0ssz 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  ZZ
10 mapss 6810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
118, 9, 10mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
1211sseli 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
1312adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) )
14 mptfcl 26798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ZZ ) )
157, 13, 14sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
1615zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  A  e.  CC )
17 mzpf 26814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
1817ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
19 mptfcl 26798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ 
->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  B  e.  ZZ ) )
2018, 13, 19sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
2120zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  B  e.  CC )
22 subeq0 9073 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
2316, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
2423bicomd 192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A  =  B  <-> 
( A  -  B
)  =  0 ) )
2524ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) ) )
265, 25ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 ) )
27 rabbi 2718 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  =  B  <->  ( A  -  B )  =  0 )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
2826, 27sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
29283adant1 973 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  ( A  -  B )  =  0 } )
30 simp1 955 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
31 mzpsubmpt 26821 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
32313adant1 973 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
33 eq0rabdioph 26856 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3430, 32, 33syl2anc 642 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( A  -  B )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
3529, 34eqeltrd 2357 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  =  B }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782  mzPolycmzp 26800  Diophcdioph 26834
This theorem is referenced by:  elnn0rabdioph  26884  dvdsrabdioph  26891  rmydioph  27107  rmxdioph  27109  expdiophlem2  27115  expdioph  27116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802  df-dioph 26835
  Copyright terms: Public domain W3C validator