Theorem eqrel 3250

Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
eqrel	|- ((Rel A /\ Rel B) -> (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 3247	. . 3 |- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
2		ssrel 3247	. . 3 |- (Rel B -> (B (_ A <-> A.xA.y(<.x, y>. e. B -> <.x, y>. e. A)))
3	1, 2	bi2anan9 632	. 2 |- ((Rel A /\ Rel B) -> ((A (_ B /\ B (_ A) <-> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) /\ A.xA.y(<.x, y>. e. B -> <.x, y>. e. A))))
4		eqss 2077	. 2 |- (A = B <-> (A (_ B /\ B (_ A))
5		2albi 1108	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B) <-> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) /\ A.xA.y(<.x, y>. e. B -> <.x, y>. e. A)))
6	3, 4, 5	3bitr4g 555	1 |- ((Rel A /\ Rel B) -> (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  <.cop 2411  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  eqrelriv 3251  opabid2 3267  reldm0 3331  iss 3397  asymref 3439  intirr 3441  dfrel2 3485  cores 3499  coi1 3510  funssres 3552  fn0 3605  fcoi1 3645  fcoi2 3646  fcnvres 3648  fnopabfv 3758  eqfnfv 3797  fsn 3834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain