MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqrel Unicode version

Theorem eqrel 4898
Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
eqrel  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem eqrel
StepHypRef Expression
1 ssrel 4897 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
2 ssrel 4897 . . 3  |-  ( Rel 
B  ->  ( B  C_  A  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  B  ->  <. x ,  y >.  e.  A
) ) )
31, 2bi2anan9 844 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  A )  <->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  /\  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  B  -> 
<. x ,  y >.  e.  A ) ) ) )
4 eqss 3299 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
5 2albiim 1619 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  /\  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  B  -> 
<. x ,  y >.  e.  A ) ) )
63, 4, 53bitr4g 280 1  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   <.cop 3753   Rel wrel 4816
This theorem is referenced by:  eqrelriv  4902  eqrelrdv  4905  eqbrrdv  4906  eqrelrdv2  4908  opabid2  4937  reldm0  5020  iss  5122  asymref  5183  funssres  5426  fsn  5838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-opab 4201  df-xp 4817  df-rel 4818
  Copyright terms: Public domain W3C validator