MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqreznegel Unicode version

Theorem eqreznegel 10392
Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
eqreznegel  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  =  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A } )
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem eqreznegel
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3250 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( -u w  e.  A  ->  -u w  e.  ZZ )
)
2 recn 8914 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
3 negid 9181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  -u w
)  =  0 )
4 0z 10124 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
53, 4syl6eqel 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  -u w
)  e.  ZZ )
65pm4.71i 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  <->  ( w  e.  CC  /\  ( w  +  -u w )  e.  ZZ ) )
7 zrevaddcl 10152 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( ( w  e.  CC  /\  ( w  +  -u w )  e.  ZZ ) 
<->  w  e.  ZZ ) )
86, 7syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( w  e.  CC  <->  w  e.  ZZ ) )
92, 8syl5ib 210 . . . . . . . 8  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( w  e.  RR  ->  w  e.  ZZ ) )
101, 9syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( -u w  e.  A  ->  ( w  e.  RR  ->  w  e.  ZZ ) ) )
1110com23 72 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( w  e.  RR  ->  ( -u w  e.  A  ->  w  e.  ZZ )
) )
1211imp3a 420 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ ) )
13 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  -u w  e.  A
)
1413a1i 10 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  -u w  e.  A
) )
1512, 14jcad 519 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A ) ) )
16 zre 10117 . . . . 5  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
1716anim1i 551 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A )  ->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
1815, 17impbid1 194 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  <-> 
( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
) ) )
19 negeq 9131 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  -u z  =  -u w )
2019eleq1d 2424 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
2120elrab 2999 . . 3  |-  ( w  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
2220elrab 2999 . . 3  |-  ( w  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A }  <->  ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A ) )
2318, 21, 223bitr4g 279 . 2  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( w  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  w  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A }
) )
2423eqrdv 2356 1  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  =  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623    C_ wss 3228  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824    + caddc 8827   -ucneg 9125   ZZcz 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114
  Copyright terms: Public domain W3C validator