MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqreznegel Structured version   Unicode version

Theorem eqreznegel 10566
Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
eqreznegel  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  =  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A } )
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem eqreznegel
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3344 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( -u w  e.  A  ->  -u w  e.  ZZ )
)
2 recn 9085 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
3 negid 9353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  -u w
)  =  0 )
4 0z 10298 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
53, 4syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  -u w
)  e.  ZZ )
65pm4.71i 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  <->  ( w  e.  CC  /\  ( w  +  -u w )  e.  ZZ ) )
7 zrevaddcl 10326 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( ( w  e.  CC  /\  ( w  +  -u w )  e.  ZZ ) 
<->  w  e.  ZZ ) )
86, 7syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( w  e.  CC  <->  w  e.  ZZ ) )
92, 8syl5ib 212 . . . . . . . 8  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( w  e.  RR  ->  w  e.  ZZ ) )
101, 9syl6 32 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( -u w  e.  A  ->  ( w  e.  RR  ->  w  e.  ZZ ) ) )
1110com23 75 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( w  e.  RR  ->  ( -u w  e.  A  ->  w  e.  ZZ )
) )
1211imp3a 422 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ ) )
13 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  -u w  e.  A
)
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  -u w  e.  A
) )
1512, 14jcad 521 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A ) ) )
16 zre 10291 . . . . 5  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
1716anim1i 553 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A )  ->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
1815, 17impbid1 196 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  <-> 
( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
) ) )
19 negeq 9303 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  -u z  =  -u w )
2019eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
2120elrab 3094 . . 3  |-  ( w  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
2220elrab 3094 . . 3  |-  ( w  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A }  <->  ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A ) )
2318, 21, 223bitr4g 281 . 2  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( w  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  w  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A }
) )
2423eqrdv 2436 1  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  =  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    C_ wss 3322  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995    + caddc 8998   -ucneg 9297   ZZcz 10287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288
  Copyright terms: Public domain W3C validator