MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Unicode version

Theorem eqs1 11447
Description: A word of length 1 is a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eqs1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 11419 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  A  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
3 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( # `  W )  =  1 )
43oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
54feq2d 5380 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> A  <->  W :
( 0..^ 1 ) --> A ) )
62, 5mpbid 201 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ 1 ) --> A )
7 ffn 5389 . . 3  |-  ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
9 0z 10035 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
10 snidg 3665 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 }
12 fzo01 10913 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1311, 12eleqtrri 2356 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
14 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  /\  0  e.  ( 0..^ 1 ) )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
156, 13, 14sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
1615s1cld 11442 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A )
17 wrdf 11419 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A  ->  <" ( W `  0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) --> A )
18 ffn 5389 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) --> A  ->  <" ( W `
 0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) )
1916, 17, 183syl 18 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) )
20 s1len 11444 . . . . 5  |-  ( # `  <" ( W `
 0 ) "> )  =  1
2120oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
)  =  ( 0..^ 1 )
2221fneq2i 5339 . . 3  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) )  <->  <" ( W `  0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
2319, 22sylib 188 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
24 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( W `
 0 )  e. 
_V
25 s1fv 11446 . . . . . 6  |-  ( ( W `  0 )  e.  _V  ->  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 )
2726eqcomi 2287 . . . 4  |-  ( W `
 0 )  =  ( <" ( W `  0 ) "> `  0 )
28 elsni 3664 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
2928, 12eleq2s 2375 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  = 
0 )
3029fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  ( W `  0 ) )
3129fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( <" ( W `  0
) "> `  x
)  =  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 ) )
3227, 30, 313eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
3332adantl 452 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W
)  =  1 )  /\  x  e.  ( 0..^ 1 ) )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
348, 23, 33eqfnfvd 5625 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   ZZcz 10024  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   <"cs1 11405
This theorem is referenced by:  swrds1  11473  revs1  11483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-s1 11411
  Copyright terms: Public domain W3C validator