MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Unicode version

Theorem eqs1 11761
Description: A word of length 1 is a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eqs1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdf 11733 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  A  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
3 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( # `  W )  =  1 )
43oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
54feq2d 5581 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> A  <->  W :
( 0..^ 1 ) --> A ) )
62, 5mpbid 202 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W : ( 0..^ 1 ) --> A )
7 ffn 5591 . . 3  |-  ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  Fn  ( 0..^ 1 ) )
9 0z 10293 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
10 snidg 3839 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 }
12 fzo01 11182 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1311, 12eleqtrri 2509 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
14 ffvelrn 5868 . . . . . 6  |-  ( ( W : ( 0..^ 1 ) --> A  /\  0  e.  ( 0..^ 1 ) )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
156, 13, 14sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  -> 
( W `  0
)  e.  A )
1615s1cld 11756 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A )
17 wrdf 11733 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  e. Word  A  ->  <" ( W `  0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) --> A )
18 ffn 5591 . . . 4  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> : ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) --> A  ->  <" ( W `
 0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
) )
1916, 17, 183syl 19 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) ) )
20 s1len 11758 . . . . 5  |-  ( # `  <" ( W `
 0 ) "> )  =  1
2120oveq2i 6092 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  <" ( W `  0
) "> )
)  =  ( 0..^ 1 )
2221fneq2i 5540 . . 3  |-  ( <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ ( # `  <" ( W `
 0 ) "> ) )  <->  <" ( W `  0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
2319, 22sylib 189 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  <" ( W ` 
0 ) ">  Fn  ( 0..^ 1 ) )
24 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( W `
 0 )  e. 
_V
25 s1fv 11760 . . . . . 6  |-  ( ( W `  0 )  e.  _V  ->  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 )  =  ( W `  0 )
2726eqcomi 2440 . . . 4  |-  ( W `
 0 )  =  ( <" ( W `  0 ) "> `  0 )
28 elsni 3838 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
2928, 12eleq2s 2528 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  = 
0 )
3029fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  ( W `  0 ) )
3129fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( <" ( W `  0
) "> `  x
)  =  ( <" ( W ` 
0 ) "> `  0 ) )
3227, 30, 313eqtr4a 2494 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
3332adantl 453 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W
)  =  1 )  /\  x  e.  ( 0..^ 1 ) )  ->  ( W `  x )  =  (
<" ( W ` 
0 ) "> `  x ) )
348, 23, 33eqfnfvd 5830 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( # `  W )  =  1 )  ->  W  =  <" ( W `  0 ) "> )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   {csn 3814    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991   ZZcz 10282  ..^cfzo 11135   #chash 11618  Word cword 11717   <"cs1 11719
This theorem is referenced by:  swrds1  11787  revs1  11797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-s1 11725
  Copyright terms: Public domain W3C validator