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Theorem eqsup 7223
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Assertion
Ref Expression
eqsup  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, R, z    y, B, z    y, C
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    C( z)

Proof of Theorem eqsup
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmo.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  R  Or  A )
3 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  C  e.  A )
4 3simpc 954 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
54adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
6 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x R y  <->  C R
y ) )
76notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  ( -.  x R y  <->  -.  C R y ) )
87ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  C R y ) )
9 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
y R x  <->  y R C ) )
109imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1110ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
128, 11anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1312rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
143, 5, 13syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
152, 14supval2 7222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
162, 14supeu 7221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1712riota2 6343 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  =  C ) )
183, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  =  C ) )
195, 18mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  C )
2015, 19eqtrd 2328 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
2120ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   class class class wbr 4039    Or wor 4329   iota_crio 6313   supcsup 7209
This theorem is referenced by:  eqsupd  7224  suprzcl2  10324  supxr  10647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-po 4330  df-so 4331  df-iota 5235  df-riota 6320  df-sup 7210
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