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Theorem eqsup 7461
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Assertion
Ref Expression
eqsup  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, R, z    y, B, z    y, C
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    C( z)

Proof of Theorem eqsup
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmo.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  R  Or  A )
3 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  C  e.  A )
4 3simpc 956 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
54adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
6 breq1 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x R y  <->  C R
y ) )
76notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  ( -.  x R y  <->  -.  C R y ) )
87ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  C R y ) )
9 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
y R x  <->  y R C ) )
109imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1110ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
128, 11anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1312rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
143, 5, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
152, 14supval2 7460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
162, 14supeu 7459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1712riota2 6572 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  =  C ) )
183, 16, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  =  C ) )
195, 18mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  C )
2015, 19eqtrd 2468 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
2120ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   class class class wbr 4212    Or wor 4502   iota_crio 6542   supcsup 7445
This theorem is referenced by:  eqsupd  7462  suprzcl2  10566  supxr  10891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-po 4503  df-so 4504  df-iota 5418  df-riota 6549  df-sup 7446
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