MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsupd Unicode version

Theorem eqsupd 7224
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
eqsupd.2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
eqsupd.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  C R y )
eqsupd.4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  y R C ) )  ->  E. z  e.  B  y R z )
Assertion
Ref Expression
eqsupd  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, R, z    y, B, z    y, C    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( z)

Proof of Theorem eqsupd
StepHypRef Expression
1 eqsupd.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
2 eqsupd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  C R y )
32ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  -.  C R y )
4 eqsupd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  y R C ) )  ->  E. z  e.  B  y R z )
54expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
65ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
7 supmo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
87eqsup 7223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
91, 3, 6, 8mp3and 1280 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    Or wor 4329   supcsup 7209
This theorem is referenced by:  suppr  7235  supiso  7239  xrinfm0  10671  ramcl2lem  13072  esumpcvgval  23461  itg2addnclem  25003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-po 4330  df-so 4331  df-iota 5235  df-riota 6320  df-sup 7210
  Copyright terms: Public domain W3C validator