MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsupd Structured version   Unicode version

Theorem eqsupd 7462
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
eqsupd.2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
eqsupd.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  C R y )
eqsupd.4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  y R C ) )  ->  E. z  e.  B  y R z )
Assertion
Ref Expression
eqsupd  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, R, z    y, B, z    y, C    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    C( z)

Proof of Theorem eqsupd
StepHypRef Expression
1 eqsupd.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
2 eqsupd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  -.  C R y )
32ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  -.  C R y )
4 eqsupd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  y R C ) )  ->  E. z  e.  B  y R z )
54expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
65ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
7 supmo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
87eqsup 7461 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
91, 3, 6, 8mp3and 1282 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212    Or wor 4502   supcsup 7445
This theorem is referenced by:  supiso  7477  xrinfm0  10915  esumpcvgval  24468  mblfinlem3  26245  mblfinlem4  26246  ismblfin  26247  itg2addnclem  26256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-po 4503  df-so 4504  df-iota 5418  df-riota 6549  df-sup 7446
  Copyright terms: Public domain W3C validator